O tempo de resposta de um sistema computacional segue distribuição normal com média 0,8 segundos e desvio padrão 0,15 segundos. Se o sistema é considerado lento quando o tempo de resposta excede 1 segundo, qual a probabilidade de isso ocorrer?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o tempo de resposta X segue distribuição normal com média \mu=0,8 segundos e desvio padrão \sigma=0,15 segundos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de o tempo de resposta exceder 1 segundo, ou seja, calcular P(X>1).

Passo 2

Entendendo o que é uma Normal e como usamos isso na prática:
  • Uma variável aleatória X com distribuição normal é escrita X\sim N(\mu,\sigma^{2}), onde \mu é a média (valor central) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão).
  • Para calcular probabilidades como P(X>1) usamos a padronização: transformamos X numa Normal padrão Z\sim N(0,1) via a fórmula abaixo, porque tabelas e calculadoras conhecem bem a Normal padrão.
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a variável padronizada, com média 0 e desvio padrão 1.

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso problema:
  • Queremos P(X>1).
  • Usamos Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}. Substituindo \mu=0,8 e \sigma=0,15 obtemos o valor crítico correspondente ao ponto X=1:
z=\frac{1-0,8}{0,15}=\frac{0,2}{0,15}=1,\overline{3}=\frac{4}{3}\approx1,333\ldots

Passo 4

Converter a probabilidade para a Normal padrão e justificar o uso do complemento:
  • Temos
P(X>1)=P\!\left(\frac{X-0,8}{0,15}>\frac{1-0,8}{0,15}\right)=P(Z>1,333\ldots).
  • Como as tabelas/funcões dão \Phi(z)=P(Z\le z), usamos o complemento:
P(Z>1,333\ldots)=1-\Phi(1,333\ldots).

Passo 5

Obter o valor numérico consultando a tabela da Normal padrão (ou calculadora) e, se necessário, interpolando:
  • Valor da função de distribuição acumulada padrão: tabelas dão \Phi(1,33)=0,9082 e \Phi(1,34)=0,9099.
  • Interpolando para z\approx1,333: a fração entre 1,33 e 1,34 é \dfrac{1,333-1,33}{0,01}=0,33. Fazendo a interpolação linear:
\Phi(1,333)\approx0,9082+0,33\cdot(0,9099-0,9082)\approx0,9082+0,33\cdot0,0017\approx0,9088.
  • Portanto
P(X>1)=1-\Phi(1,333\ldots)\approx1-0,9088=0,0912.

Passo 6

Interpretação final e dica prática:
  • A probabilidade de o sistema ser considerado lento (tempo >1 s) é aproximadamente 0,0912, ou seja, cerca de 9{,}12\%.
  • Dica para prova: padronize sempre com Z=(X-\mu)/\sigma, consulte a tabela da Normal padrão e use o complemento 1-\Phi(z) quando quiser P(X>\text{valor}).

Resposta

0,0912
9,12\%

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