Dados os valores: 3,7,2,9,5,7,1,6.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá os valores 3,7,2,9,5,7,1,6 e pede cinco coisas:
(a) construir o rol (lista ordenada);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os dados são os oito números 3,7,2,9,5,7,1,6.
  • Não foi especificado se a variância pedida é populacional ou amostral. Vou calcular as duas (variância populacional e variância amostral) e seus respectivos desvios padrão, explicando a diferença entre elas.

Passo 2

Construir o rol significa ordenar os valores em ordem crescente. Para ordenar, comparo os valores e os coloco do menor para o maior:
  • Os valores em ordem crescente são 1,2,3,5,6,7,7,9.
    Portanto o rol é \,1,2,3,5,6,7,7,9.

Passo 3

Média aritmética: explicação da fórmula e cálculo passo a passo.
  • A média aritmética \bar{x} de n observações x_1,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número total de observações e cada x_i é um dos dados.
  • Aqui n=8. Somo todos os dados:
3+7+2+9+5+7+1+6 = 40.
  • Então
\bar{x}=\frac{40}{8}=5.
Portanto a média aritmética é \bar{x}=5.

Passo 4

Moda: definição e contagem.
  • A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados.
  • Conto quantas vezes cada valor aparece (peguei os dados do enunciado):
    • 1 aparece 1 vez,
    • 2 aparece 1 vez,
    • 3 aparece 1 vez,
    • 5 aparece 1 vez,
    • 6 aparece 1 vez,
    • 7 aparece 2 vezes,
    • 9 aparece 1 vez.
  • O valor com maior frequência é 7, que aparece 2 vezes.
    Logo a moda é 7.

Passo 5

Mediana: definição e aplicação para n par.
  • A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados.
  • Se n é ímpar, a mediana é o elemento central do rol; se n é par, a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais.
  • Aqui n=8 (par). No rol \,1,2,3,5,6,7,7,9 os dois elementos centrais são o 4.º e o 5.º:
    • 4.º elemento = 5,
    • 5.º elemento = 6.
  • Portanto a mediana é
\text{mediana}=\frac{5+6}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5.

Passo 6

Preparação para calcular variância e desvio padrão — fórmulas e diferenças.
  • Vou calcular tanto a variância populacional \sigma^2 e desvio padrão populacional \sigma quanto a variância amostral s^2 e desvio padrão amostral s.
  • Fórmulas:
    • Variância populacional:
    \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,onde n é o número total de elementos da população (aqui estamos tratando todos os 8 valores como a população).
    • Variância amostral:
    s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,onde se usa n-1 no denominador para corrigir o viés quando os dados são uma amostra de uma população maior.
    • Desvios padrão são as raízes quadradas das variâncias:
    \sigma=\sqrt{\sigma^2},\qquad s=\sqrt{s^2}.
  • Explicação das variáveis:
    • x_i são os valores dos dados,
    • \bar{x} é a média aritmética calculada antes,
    • n é o total de observações (aqui n=8).

Passo 7

Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados (tabela passo a passo).
  • Usei a média \bar{x}=5 (obtida no Passo 3). Para cada x_i calculo x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2:
    • Para x_1=3: x_1-\bar{x}=3-5=-2, (x_1-\bar{x})^2=(-2)^2=4.
    • Para x_2=7: 7-5=2, (2)^2=4.
    • Para x_3=2: 2-5=-3, (-3)^2=9.
    • Para x_4=9: 9-5=4, (4)^2=16.
    • Para x_5=5: 5-5=0, 0^2=0.
    • Para x_6=7: 7-5=2, 2^2=4.
    • Para x_7=1: 1-5=-4, (-4)^2=16.
    • Para x_8=6: 6-5=1, 1^2=1.

Passo 8

Somar os quadrados das diferenças e calcular as variâncias.
  • Somo todos os (x_i-\bar{x})^2 que calculei:
4+4+9+16+0+4+16+1 = 54.
  • Variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{54}{8}=\frac{27}{4}=6{,}75.
  • Variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{54}{7}\approx 7{,}714285\ldots

Passo 9

Calcular os desvios padrão correspondente (raízes quadradas).
  • Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{6{,}75}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{\sqrt{27}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{54}{7}}\approx 2{,}777\\ (\text{aprox.}).

Passo 10

Resumo rápido (revisão dos resultados principais para memorização).
  • Rol: lista ordenada dos dados.
  • Média: soma dos dados dividida pelo número de dados.
  • Moda: valor com maior frequência.
  • Mediana: valor central (ou média dos dois centrais se n for par).
  • Variância e desvio: medidas de dispersão; lembrar sempre de qual fórmula usar (populacional com n ou amostral com n-1).

Resposta

(a) Rol: 1,2,3,5,6,7,7,9
(b) Média aritmética: \bar{x}=5
(c) Moda: 7
(d) Mediana: 5{,}5
(e) Variância populacional: \sigma^2=6{,}75 e desvio padrão populacional: \sigma=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx2{,}598
(e) Variância amostral: s^2=\dfrac{54}{7}\approx7{,}714285\ldots e desvio padrão amostral: s=\sqrt{\dfrac{54}{7}}\approx2{,}777

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