Dados os valores:
.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá os valores
e pede cinco coisas:
(a) construir o rol (lista ordenada);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
(a) construir o rol (lista ordenada);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Informações relevantes fornecidas:
- Os dados são os oito números
. - Não foi especificado se a variância pedida é populacional ou amostral. Vou calcular as duas (variância populacional e variância amostral) e seus respectivos desvios padrão, explicando a diferença entre elas.
Passo 2
Construir o rol significa ordenar os valores em ordem crescente. Para ordenar, comparo os valores e os coloco do menor para o maior:
- Os valores em ordem crescente são
.
Portanto o rol é
Passo 3
Média aritmética: explicação da fórmula e cálculo passo a passo.
- A média aritmética
de observações é dada por
onde
é o número total de observações e cada
é um dos dados.
- Aqui
. Somo todos os dados:
- Então
Portanto a média aritmética é
.
Passo 4
Moda: definição e contagem.
- A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados.
- Conto quantas vezes cada valor aparece (peguei os dados do enunciado):
-
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 1 vez, -
aparece 2 vezes, -
aparece 1 vez.
-
- O valor com maior frequência é
, que aparece 2 vezes.
Logo a moda é.
Passo 5
Mediana: definição e aplicação para
par.
- A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados.
- Se
é ímpar, a mediana é o elemento central do rol; se é par, a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais. - Aqui
(par). No rol os dois elementos centrais são o 4.º e o 5.º: - 4.º elemento =
, - 5.º elemento =
.
- 4.º elemento =
- Portanto a mediana é
Passo 6
Preparação para calcular variância e desvio padrão — fórmulas e diferenças.
- Vou calcular tanto a variância populacional
e desvio padrão populacional quanto a variância amostral e desvio padrão amostral . - Fórmulas:
- Variância populacional:
onde é o número total de elementos da população (aqui estamos tratando todos os 8 valores como a população). - Variância amostral:
onde se usa no denominador para corrigir o viés quando os dados são uma amostra de uma população maior. - Desvios padrão são as raízes quadradas das variâncias:
- Explicação das variáveis:
-
são os valores dos dados, -
é a média aritmética calculada antes, -
é o total de observações (aqui ).
-
Passo 7
Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados (tabela passo a passo).
- Usei a média
(obtida no Passo 3). Para cada calculo e : - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
- Para
Passo 8
Somar os quadrados das diferenças e calcular as variâncias.
- Somo todos os
que calculei:
- Variância populacional:
- Variância amostral:
Passo 9
Calcular os desvios padrão correspondente (raízes quadradas).
- Desvio padrão populacional:
- Desvio padrão amostral:
Passo 10
Resumo rápido (revisão dos resultados principais para memorização).
- Rol: lista ordenada dos dados.
- Média: soma dos dados dividida pelo número de dados.
- Moda: valor com maior frequência.
- Mediana: valor central (ou média dos dois centrais se
for par). - Variância e desvio: medidas de dispersão; lembrar sempre de qual fórmula usar (populacional com
ou amostral com ).
Resposta
(a) Rol:
(b) Média aritmética:
(c) Moda:
(d) Mediana:
(e) Variância populacional: e desvio padrão populacional:
(e) Variância amostral: e desvio padrão amostral:
(b) Média aritmética:
(c) Moda:
(d) Mediana:
(e) Variância populacional:
(e) Variância amostral: