Um contabilometrista está interessado em estudar se o preço do ativo A está associado ao preço do ativo B (ambos em R
). A f.d.p. conjunta dos preços desses ativos, segundo um colega seu da área de estatística, é dada pela seguinte função:
Sabe-se que
é o preço do ativo A e,
, o preço do ativo B. Com essas informações em mãos, primeiramente, cheque se essa função é de fato uma f.d.p. conjunta. Agora, calcule:
2a
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente verificar se a função $ f(x, y) $ realmente é uma função de densidade de probabilidade conjunta (f.d.p. conjunta) dos preços dos ativos A e B. Depois disso, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $. Pra isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade de probabilidade conjunta. Ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade: Para todo $ x $ e $ y $, $ f(x, y) \geq 0 $.
- Integral igual a 1: A integral dupla de $ f(x, y) $ sobre todo o espaço possível deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas duas coisas para a função dada.
Passo 3
Verificando a não-negatividade:
A função dada é:
Como $ x $ e $ y $ estão no intervalo
e os coeficientes $ 2 $ e $ 3 $ são positivos, a combinação $ 2x + 3y $ também será sempre positiva dentro desse intervalo. Multiplicando por $ \frac{2}{5} $, que é positivo, garantimos que $ f(x, y) \geq 0 $.
Passo 4
Verificando a integral igual a 1:
Precisamos calcular a integral dupla de $ f(x, y) $ sobre $ x $ e $ y $ de 0 a 1:
Vamos fazer essa integração passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a $ x $:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Como a integral dupla de $ f(x, y) $ é igual a 1, e a função é não-negativa, podemos confirmar que $ f(x, y) $ é, de fato, uma função de densidade de probabilidade conjunta.
Passo 8
Agora, vamos calcular $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, vamos integrar a função conjunta sobre todas as $ y $ possíveis, mas deixando $ x $ variar de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 10
Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ é $ \frac{2}{5} $.