Um contabilometrista está interessado em estudar se o preço do ativo A está associado ao preço do ativo B (ambos em R ). A f.d.p. conjunta dos preços desses ativos, segundo um colega seu da área de estatística, é dada pela seguinte função:
) A fdp conjunta dos preços desses ativos, segundo um co<=ga seu da área de estatística, é dada pela seguinte função: á
Sabe-se que f(x, y)=l 25(2 x+3 y), com x, y in(0,1] 0, caso contrário é o preço do ativo A e, Sabe-se que , o preço do ativo B. Com essas informações em mãos, primeiramente, cheque se essa função é de fato uma f.d.p. conjunta. Agora, calcule:
2a
é o preço do ativo A e,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente verificar se a função $ f(x, y) $ realmente é uma função de densidade de probabilidade conjunta (f.d.p. conjunta) dos preços dos ativos A e B. Depois disso, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $. Pra isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade de probabilidade conjunta. Ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: Para todo $ x $ e $ y $, $ f(x, y) \geq 0 $.
  2. Integral igual a 1: A integral dupla de $ f(x, y) $ sobre todo o espaço possível deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas duas coisas para a função dada.

Passo 3

Verificando a não-negatividade:
A função dada é:
f(x, y)= 25(2x + 3y), & se x, y in (0,1] 0, & caso contrário á
Como $ x $ e $ y $ estão no intervalo x e os coeficientes $ 2 $ e $ 3 $ são positivos, a combinação $ 2x + 3y $ também será sempre positiva dentro desse intervalo. Multiplicando por $ \frac{2}{5} $, que é positivo, garantimos que $ f(x, y) \geq 0 $.

Passo 4

Verificando a integral igual a 1:
Precisamos calcular a integral dupla de $ f(x, y) $ sobre $ x $ e $ y $ de 0 a 1:
f(x, y)
Vamos fazer essa integração passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a $ x $:
x
Calculando cada parte:
integral0^1 25(2x + 3y) , dx = 25 [ integral0^1 2x , dx + integral0^1 3y , dx ]
integral0^1 2x , dx = 2 [ x^22 ]0^1 = 2 ( 12 - 0 ) = 1
Então:
integral0^1 3y , dx = 3y cdot integral0^1 dx = 3y cdot 1 = 3y

Passo 6

Agora, integramos em relação a $ y $:
y
Calculando cada parte:
integral0^1 25 (1 + 3y) , dy = 25 [ integral0^1 1 , dy + integral0^1 3y , dy ]
integral0^1 1 , dy = y |0^1 = 1 - 0 = 1
Então:
integral0^1 3y , dy = 3 [ y^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32

Passo 7

Como a integral dupla de $ f(x, y) $ é igual a 1, e a função é não-negativa, podemos confirmar que $ f(x, y) $ é, de fato, uma função de densidade de probabilidade conjunta.

Passo 8

Agora, vamos calcular $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, vamos integrar a função conjunta sobre todas as $ y $ possíveis, mas deixando $ x $ variar de 0 a $ \frac{1}{2} $:
P(X <= 12)

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Calculando cada parte:
integral0^1 25(2x + 3y) , dy = 25 [ integral0^1 2x , dy + integral0^1 3y , dy ]
integral0^1 2x , dy = 2x cdot integral0^1 dy = 2x cdot 1 = 2x
Então:
integral0^1 3y , dy = 3 [ y^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
x
Calculando cada parte:
12
integral0^12 ( 4x5 + 35 ) , dx = 45 integral0^12 x , dx + 35 integral0^12 dx
Então:
integral0^12 x , dx = [ x^22 ]0^12 = (12)^22 = 18

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ é $ \frac{2}{5} $.

Exercícios relacionados