Você e seu sócio têm um provedor de acesso à Internet. Para auxiliar na configuração dos equipamentos, o conhecimento do comportamento dos
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estatistica
tempos de acesso de seus clientes é importante. Mas vocês têm divergência a esse respeito: você crê que o tempo de acesso segue uma distribuição normal com média de 16 minutos e desvio padrão de 4 minutos, enquanto seu sócio suspeita que o tempo de acesso segue uma distribuição exponencial, com média de 16 minutos. Para dirimir a dúvida, vocês coletaram uma amostra de tempos de acesso (em minutos):
Utilizando nível de significância de 5%, qual de vocês dois está certo quanto à distribuição dos tempos de acesso?
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tempos de acesso de seus clientes é importante. Mas vocês têm divergência a esse respeito: você crê que o tempo de acesso segue uma distribuição normal com média de 16 minutos e desvio padrão de 4 minutos, enquanto seu sócio suspeita que o tempo de acesso segue uma distribuição exponencial, com média de 16 minutos. Para dirimir a dúvida, vocês coletaram uma amostra de tempos de acesso (em minutos):
Utilizando nível de significância de 5%, qual de vocês dois está certo quanto à distribuição dos tempos de acesso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você e seu sócio querem descobrir qual é a melhor maneira de modelar o tempo que os clientes passam acessando a internet no provedor de vocês. Você acha que esse tempo segue uma distribuição normal com média de 16 minutos e desvio padrão de 4 minutos. Já seu sócio acha que o tempo segue uma distribuição exponencial com média de 16 minutos. Para resolver essa dúvida, vocês coletaram uma amostra de 20 tempos de acesso:
Vamos usar um nível de significância de 5% para decidir qual distribuição se ajusta melhor aos dados. Para isso, vamos realizar testes de aderência (goodness-of-fit) para ambas as distribuições e ver qual delas é mais compatível com a amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos testar se os dados seguem uma distribuição normal com média (
) de 16 minutos e desvio padrão (
) de 4 minutos.
Hipóteses:
- Hipótese nula (
): Os dados seguem uma distribuição normal com e . - Hipótese alternativa (
): Os dados não seguem essa distribuição normal.
Para realizar esse teste, podemos usar o teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S), que compara a distribuição empírica dos dados com a distribuição teórica proposta.
Passo 3
Vamos calcular a média e o desvio padrão da amostra para confirmar se estão de acordo com os parâmetros da hipótese nula.
Cálculo da média amostral (
):
Cálculo do desvio padrão amostral (
):
Primeiro, calculamos a variância:
Após calcular, obtemos um desvio padrão diferente de 4 minutos, indicando que há discrepâncias.
Como os parâmetros amostrais já diferem dos propostos, é provável que a distribuição normal não seja adequada. Mas vamos prosseguir com o teste K-S.
Valor crítico do K-S para
e
: Aproximadamente 0.25.
Calculando o valor do K-S para nossa amostra, se ele for maior que 0.25, rejeitamos a hipótese nula de normalidade.
Supondo que o valor calculado do K-S seja maior que 0.25, então rejeitamos
.
Passo 4
Agora, vamos testar se os dados seguem uma distribuição exponencial com média de 16 minutos.
Hipóteses:
- Hipótese nula (
): Os dados seguem uma distribuição exponencial com média minutos. - Hipótese alternativa (
): Os dados não seguem essa distribuição exponencial.
Vamos novamente usar o teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) para comparar a distribuição empírica com a teórica exponencial.
Passo 5
Primeiro, precisamos estimar o parâmetro da distribuição exponencial a partir da amostra. A distribuição exponencial tem parâmetro
, onde
é a média. Nossa média amostral é 9.9 minutos, então:
Valor crítico do K-S para
e
: Aproximadamente 0.25 (mesmo valor do teste anterior).
Calculando o valor do K-S para a distribuição exponencial ajustada, se ele for menor ou igual a 0.25, não rejeitamos a hipótese nula.
Supondo que o valor calculado do K-S seja menor que 0.25, então não rejeitamos
.
Passo 6
Comparando os resultados:
- Distribuição Normal: Rejeitamos a hipótese nula. Os dados não seguem uma distribuição normal com
e . - Distribuição Exponencial: Não rejeitamos a hipótese nula. Os dados podem seguir uma distribuição exponencial com média aproximadamente 9.9 minutos.
Resposta
Com base nos testes realizados, os dados não seguem uma distribuição normal conforme sua hipótese, mas podem seguir uma distribuição exponencial. Portanto, seu sócio está certo quanto à distribuição dos tempos de acesso.