Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um contador Geiger que registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. A quantidade de partículas emitidas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 3. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas exatamente um determinado número de partículas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e de maneira independente uns dos outros. No nosso caso, o evento é a emissão de partículas por segundo.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 3 partículas por segundo).
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828.
- $ k! $ é o fatorial de k.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a probabilidade de serem registradas exatamente k partículas em um segundo. Suponha que queremos encontrar a probabilidade de exatamente 2 partículas serem registradas.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Calculando passo a passo:
- $ 3^2 = 9 $
- $ e^{-3} \approx 0,0498 $
- $ 2! = 2 $
Então:
Resposta
A probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas exatamente 2 partículas é aproximadamente 0,2241, ou 22,41%.