Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um contador Geiger que registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. A quantidade de partículas emitidas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 3. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas exatamente um determinado número de partículas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e de maneira independente uns dos outros. No nosso caso, o evento é a emissão de partículas por segundo.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 3 partículas por segundo).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828.
  • $ k! $ é o fatorial de k.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a probabilidade de serem registradas exatamente k partículas em um segundo. Suponha que queremos encontrar a probabilidade de exatamente 2 partículas serem registradas.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
P(X = 2) = 3^2 cdot e^-32!

Passo 6

Calculando passo a passo:
  • $ 3^2 = 9 $
  • $ e^{-3} \approx 0,0498 $
  • $ 2! = 2 $
Então:
3^2 = 9
e^-3 approx 0,0498
2! = 2

Resposta

A probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas exatamente 2 partículas é aproximadamente 0,2241, ou 22,41%.

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