A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3. Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade
de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale
quando o adversário é o time 2 e vale
quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja
o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema envolvendo probabilidades em jogos de futebol. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Probabilidade Básica. Precisamos calcular a chance do time estrangeiro vencer 0, 1, 2 ou 3 jogos contra os times 1, 2 e 3, sabendo que as probabilidades de vitória são diferentes para cada adversário e que os resultados dos jogos são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades:
- Contra o time 1: $ P(V_1) = \frac{1}{4} $
- Contra o time 2: $ P(V_2) = \frac{1}{2} $
- Contra o time 3: $ P(V_3) = \frac{2}{5} $
Aqui, $ V_i $ representa a vitória no jogo contra o time $ i $.
Passo 3
Como os jogos são independentes, a probabilidade de uma combinação específica de vitórias e derrotas é o produto das probabilidades individuais. Vamos calcular isso para cada possível número de vitórias ($ X = 0, 1, 2, 3 $).
Passo 4
Caso $ X = 0 $ (nenhuma vitória):
Isso significa que o time estrangeiro perdeu todos os jogos. A probabilidade é:
Passo 5
Caso $ X = 1 $ (uma vitória):
Aqui, o time vence em apenas um dos três jogos. Existem três possibilidades:
- Vencer só o jogo contra o time 1.
- Vencer só o jogo contra o time 2.
- Vencer só o jogo contra o time 3.
Vamos calcular cada uma e somar:
Passo 6
Caso $ X = 2 $ (duas vitórias):
Agora, o time vence em dois jogos. As possibilidades são:
- Vencer contra os times 1 e 2.
- Vencer contra os times 1 e 3.
- Vencer contra os times 2 e 3.
Calculando cada uma:
Passo 7
Caso $ X = 3 $ (três vitórias):
Finalmente, o time vence todos os jogos. A probabilidade é:
Resposta
As probabilidades do time estrangeiro conquistar $ X $ vitórias são: