A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3. Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade 1 / 4 de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale 1 / 2 quando o adversário é o time 2 e vale 2 / 5 quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja X o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema envolvendo probabilidades em jogos de futebol. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Probabilidade Básica. Precisamos calcular a chance do time estrangeiro vencer 0, 1, 2 ou 3 jogos contra os times 1, 2 e 3, sabendo que as probabilidades de vitória são diferentes para cada adversário e que os resultados dos jogos são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades:
  • Contra o time 1: $ P(V_1) = \frac{1}{4} $
  • Contra o time 2: $ P(V_2) = \frac{1}{2} $
  • Contra o time 3: $ P(V_3) = \frac{2}{5} $
Aqui, $ V_i $ representa a vitória no jogo contra o time $ i $.

Passo 3

Como os jogos são independentes, a probabilidade de uma combinação específica de vitórias e derrotas é o produto das probabilidades individuais. Vamos calcular isso para cada possível número de vitórias ($ X = 0, 1, 2, 3 $).

Passo 4

Caso $ X = 0 $ (nenhuma vitória):
Isso significa que o time estrangeiro perdeu todos os jogos. A probabilidade é:
X = 0
P(X = 0) = (1 - P(V1)) times (1 - P(V2)) times (1 - P(V3)) = (1 - 14) times (1 - 12) times (1 - 25)

Passo 5

Caso $ X = 1 $ (uma vitória):
Aqui, o time vence em apenas um dos três jogos. Existem três possibilidades:
  1. Vencer só o jogo contra o time 1.
  2. Vencer só o jogo contra o time 2.
  3. Vencer só o jogo contra o time 3.
Vamos calcular cada uma e somar:
X = 1
P(X = 1) = P(V1) times (1 - P(V2)) times (1 - P(V3)) + (1 - P(V1)) times P(V2) times (1 - P(V3)) + (1 - P(V1)) times (1 - P(V2)) times P(V3)
P(X = 1) = 14 times 12 times 35 + 34 times 12 times 35 + 34 times 12 times 25

Passo 6

Caso $ X = 2 $ (duas vitórias):
Agora, o time vence em dois jogos. As possibilidades são:
  1. Vencer contra os times 1 e 2.
  2. Vencer contra os times 1 e 3.
  3. Vencer contra os times 2 e 3.
Calculando cada uma:
X = 2
P(X = 2) = P(V1) times P(V2) times (1 - P(V3)) + P(V1) times (1 - P(V2)) times P(V3) + (1 - P(V1)) times P(V2) times P(V3)
P(X = 2) = 14 times 12 times 35 + 14 times 12 times 25 + 34 times 12 times 25

Passo 7

Caso $ X = 3 $ (três vitórias):
Finalmente, o time vence todos os jogos. A probabilidade é:
X = 3
P(X = 3) = P(V1) times P(V2) times P(V3) = 14 times 12 times 25

Resposta

As probabilidades do time estrangeiro conquistar $ X $ vitórias são:
X

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