O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, calcule:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que o número de acidentes de trabalho por semana em uma fábrica segue uma distribuição de Poisson. Além disso, sabemos que a probabilidade de ocorrer pelo menos um acidente em uma semana é um terço da probabilidade de nenhum acidente ocorrer. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da distribuição de Poisson e resolver uma equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a ocorrência de eventos independentes que acontecem com uma taxa média constante em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência dos eventos,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural,
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso problema, queremos relacionar duas probabilidades:
  1. A probabilidade de ocorrer pelo menos um acidente em uma semana, que é $ P(X \geq 1) $.
  2. A probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em uma semana, que é $ P(X = 0) $.
Segundo o enunciado:
P(X >= 1)

Passo 4

Vamos calcular $ P(X \geq 1) $. Sabemos que:
P(X >= 1)
Substituindo na equação dada:
P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)

Passo 5

Agora, substituímos $ P(X = 0) $ usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(X = 0)
Então, a equação fica:
P(X = 0) = lambda^0 e^-lambda0! = e^-lambda

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar $ \lambda $:
lambda
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
1 - e^-lambda = 13 e^-lambda
Distribuindo o 3:
3(1 - e^-lambda) = e^-lambda
Adicionando $ 3 e^{-\lambda} $ em ambos os lados:
3 - 3 e^-lambda = e^-lambda
Dividindo ambos os lados por 4:
3 e^-lambda

Passo 7

Para resolver para $ \lambda $, aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
lambda
Multiplicando ambos os lados por -1:
-lambda = ln(34)

Resposta

Calculando o valor numérico:
lambda = -ln(34) approx -ln0,75 approx 0,2877
Portanto, a taxa média de acidentes por semana é aproximadamente 0,2877.

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