O número
de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, calcule:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que o número de acidentes de trabalho por semana em uma fábrica segue uma distribuição de Poisson. Além disso, sabemos que a probabilidade de ocorrer pelo menos um acidente em uma semana é um terço da probabilidade de nenhum acidente ocorrer. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da distribuição de Poisson e resolver uma equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a ocorrência de eventos independentes que acontecem com uma taxa média constante em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência dos eventos,
- $ e $ é a base do logaritmo natural,
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
No nosso problema, queremos relacionar duas probabilidades:
- A probabilidade de ocorrer pelo menos um acidente em uma semana, que é $ P(X \geq 1) $.
- A probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em uma semana, que é $ P(X = 0) $.
Segundo o enunciado:
Passo 4
Vamos calcular $ P(X \geq 1) $. Sabemos que:
Substituindo na equação dada:
Passo 5
Agora, substituímos $ P(X = 0) $ usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar $ \lambda $:
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Distribuindo o 3:
Adicionando $ 3 e^{-\lambda} $ em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 7
Para resolver para $ \lambda $, aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Resposta
Calculando o valor numérico:
Portanto, a taxa média de acidentes por semana é aproximadamente 0,2877.