A contagem de M&Ms por cor de nove pacotes (40g) distribuídos na aula de EST 0002 MAT é:
Cor Freq. absoluta
Marron 46
Azul 36
Verde 88
Amarelo 76
Vermelho 104
Laranja 23
Há indícios de que a distribuição de cores não é uniforme, ou seja, há mais ou menos confeitos de determinada cor? Aplique um teste quiquadrado para responder essa pergunta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a contagem de M&Ms por cor em nove pacotes de 40g cada. A gente precisa verificar se essas contagens seguem uma distribuição uniforme, ou seja, se há a mesma quantidade de cada cor ou se algumas aparecem mais ou menos frequentemente. Para isso, vamos usar o teste qui-quadrado, que é uma ferramenta da estatística que ajuda a comparar o que observamos com o que esperaríamos se tudo fosse igual.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula (H₀): A distribuição das cores dos M&Ms é uniforme. Isso significa que todas as cores têm a mesma frequência esperada.
  • Hipótese alternativa (H₁): A distribuição das cores dos M&Ms não é uniforme. Ou seja, pelo menos uma cor aparece com frequência diferente das outras.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as frequências esperadas para cada cor, assumindo que a distribuição é realmente uniforme.
Primeiro, somamos todas as frequências observadas:
46 (Marron) + 36 (Azul) + 88 (Verde) + 76 (Amarelo) + 104 (Vermelho) + 23 (Laranja) = 373
Como temos 6 cores, a frequência esperada para cada cor seria:
Frequência esperada = Total de observaçõesNúmero de categorias = 3736 approx 62,17 êçõú
Então, para cada cor, esperamos aproximadamente 62,17 M&Ms se a distribuição for uniforme.

Passo 4

Com as frequências observadas e esperadas em mãos, vamos calcular o valor do qui-quadrado (χ²) usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde:
  • $ O_i $ = frequência observada de cada cor
  • $ E_i $ = frequência esperada de cada cor
Vamos calcular para cada cor:
  1. Marron:
Oi
  1. Azul:
Ei
  1. Verde:
(46 - 62,17)^262,17 = (-16,17)^262,17 approx 261,4462,17 approx 4,21
  1. Amarelo:
(36 - 62,17)^262,17 = (-26,17)^262,17 approx 686,5262,17 approx 11,04
  1. Vermelho:
(88 - 62,17)^262,17 = 25,83^262,17 approx 667,5962,17 approx 10,75
  1. Laranja:
(76 - 62,17)^262,17 = 13,83^262,17 approx 191,2262,17 approx 3,08
Agora, somamos todos esses valores para obter o χ² total:
(104 - 62,17)^262,17 = 41,83^262,17 approx 1749,8962,17 approx 28,12

Passo 5

Precisamos determinar os graus de liberdade (gl) para o teste, que é dado por:
gl = número de categorias - 1 = 6 - 1 = 5 ú
Agora, vamos comparar o valor calculado de χ² com o valor crítico da tabela qui-quadrado para 5 graus de liberdade e um nível de significância comum, como 5% (0,05).
Consultando a tabela qui-quadrado, para 5 gl e α = 0,05, o valor crítico é aproximadamente 11,07.

Passo 6

Comparando os valores:
chi^2calculado = 81,88 vs chi^2crítico = 11,07 í
Como 81,88 > 11,07, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste qui-quadrado, há evidências suficientes para concluir que a distribuição das cores dos M&Ms não é uniforme.

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