Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição dada abaixo:
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
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0,10 | 0,20 | 0,15 | 0,30 | 0,25 |
Quais das seguintes frases são verdadeiras?
I.
II.
III.
IV.
V.
I.
II.
III.
IV.
V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória discreta chamada X, que tem uma distribuição de probabilidade específica. Precisamos verificar quais das cinco afirmações dadas são verdadeiras. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como calcular probabilidades acumuladas e entender intervalos de valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais valores a variável X pode assumir e suas respectivas probabilidades:
- X = -2 com p(X) = 0,10
- X = -1 com p(X) = 0,20
- X = 0 com p(X) = 0,15
- X = 1 com p(X) = 0,30
- X = 2 com p(X) = 0,25
Passo 3
Vamos analisar a afirmação I: P(X < 2) = 1
Aqui, queremos saber a probabilidade de X ser menor que 2. Olhando para os valores que X pode assumir (-2, -1, 0, 1, 2), o único valor que não é menor que 2 é X = 2. A soma das probabilidades dos valores menores que 2 é 0,10 + 0,20 + 0,15 + 0,30 = 0,75. Como 0,75 ≠ 1, a afirmação I é falsa.
Passo 4
Agora, a afirmação II: P(X < 0,5) = 0,45
Precisamos calcular a probabilidade de X ser menor que 0,5. Os valores de X que são menores que 0,5 são -2, -1 e 0. Somando suas probabilidades: 0,10 + 0,20 + 0,15 = 0,45. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Passo 5
Vamos para a afirmação III: P(-1 ≤ X < 2) = 0,65
Aqui, queremos a probabilidade de X estar entre -1 inclusivo e 2 exclusivo. Os valores que se encaixam nesse intervalo são -1, 0 e 1. Somando as probabilidades: 0,20 + 0,15 + 0,30 = 0,65. Então, a afirmação III é verdadeira.
Passo 6
A seguir, a afirmação IV: P(X ≥ 0) = 0,60
Queremos a probabilidade de X ser maior ou igual a 0. Os valores que cumprem isso são 0, 1 e 2. Somando suas probabilidades: 0,15 + 0,30 + 0,25 = 0,70. Como 0,70 ≠ 0,60, a afirmação IV é falsa.
Passo 7
Por último, a afirmação V: P(-4 ≤ X ≤ -1,5) = 0,30
Precisamos encontrar a probabilidade de X estar entre -4 e -1,5. Olhando para os valores possíveis de X (-2 e -1), apenas X = -2 está dentro desse intervalo (-4 ≤ -2 ≤ -1,5). A probabilidade de X = -2 é 0,10. Como 0,10 ≠ 0,30, a afirmação V é falsa.
Resposta
As afirmações II e III são verdadeiras.