O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal com média 1.000 g e desvio padrão 20 g . (resposta com 3 casas decimais, arredonde o número corretamente)
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980 g ? \square
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1.010 g ? \square
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar menos que 975 g ? \square
    Considere que seja inadmissível uma lata de conserva pesar menos que 975 g, tendo que ser devolvida. Isso geraria custo extra para a empresa, que deverá recolher a lata e fornecer uma com peso adequado. Para evitar prejuízos extremos, a empresa adora a seguinte política: um lote de latas de conservas será devolvido se mais que 10% das latas apresentarem peso inferior a 975 g . Suponha que um lote possua 200 latas de conserva e considere que a chance de qualquer uma dessas latas pesar menos que 975 g seja a mesma e que o peso de uma lata não influencia no peso de outra lata.
  • Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que 975 g ? \square
  • Para que o lote seja devolvido, pelo menos quantas latas devem pesar menos que 975 g ?
    \square
    O interesse está em conhecer qual a probabilidade desse lote ser devolvido.
  • Qual o modelo de probabilidade adequado para esse caso?
    \bigcirc Bernoulli \bigcirc Binomial \bigcirc Poisson \bigcirc Normal \bigcirc t-Student
  • As pressuposições do modelo são atendidas?
    \bigcirc Sim \bigcirc Não
  • Qual a probabilidade de o lote ser devolvido? \square
  • Considerando que cada lote devolvido impacta em um custo extra para a empresa, essa probabilidade de devolução do lote é alta?
    \bigcirc Sim \bigcirc Não
Suponha que 10 lotes de 200 latas foram vendidos. Qual o número esperado de lotes em devolução?
\square
+0.4 .65542 .65910 .66276 .66640
+0.5 .69146 .69497 .69847 .70194
+0.6 .72575 .72907 .73237 .73565
+0.7 .75804 .76115 .76424 .76730
+0.8 .78814 .79103 .79389 .79673
+0.9 .81594 .81859 .82121 .82381
+1 .84134 .84375 .84614 .84849

Passo 1

O enunciado fornece: o peso bruto de latas é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=1000 g e desvio-padrão \sigma=20 g. As perguntas iniciais são:
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980 g?
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1010 g?
  • Qual a probabilidade de uma lata pesar menos que 975 g?
Depois, há uma política de devolução: um lote (com 200 latas) é devolvido se mais que 10\% das latas pesarem menos que 975 g. Para essa parte o enunciado pede:
  • Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que 975 g?
  • Para que o lote seja devolvido, pelo menos quantas latas devem pesar menos que 975 g?
  • Qual o modelo de probabilidade adequado? (escolher entre Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, t-Student)
  • As pressuposições do modelo são atendidas? (Sim/Não)
  • Qual a probabilidade de o lote ser devolvido?
  • Essa probabilidade de devolução do lote é alta? (Sim/Não)
Por fim: supondo que 10 lotes de 200 latas foram vendidos, qual o número esperado de lotes em devolução?
Informações numéricas relevantes: \mu=1000, \sigma=20, n=200, limiar de problema para lata: 975 g, política devolução: mais de 10\% de 200 é a condição.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (mini-aula): quando a variável X é Normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, podemos padronizar para a Normal padrão Z (média 0, desvio 1) com a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso significa que
P(X<a)=P\!\left(Z<\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
e
P(X>a)=P\!\left(Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=1-P\!\left(Z\le\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Usaremos esses fatos e a tabela da Normal padrão (valores de \Phi(z)=P(Z\le z)). Quando eu citar um número da tabela, direi explicitamente se tirei do trecho de tabela que você forneceu.
Agora calculamos cada probabilidade pedida.

Passo 3

Calcular P(X<980).
  1. Padronizo:
z=\frac{980-1000}{20}=\frac{-20}{20}=-1{,}00.
  1. Usando a tabela da Normal padrão: para z=1{,}00 a tabela (trecho fornecido) dá \Phi(1{,}00)=0{,}84134. Como P(Z<-1)=P(Z>1)=1-\Phi(1), temos
P(X<980)=P(Z<-1)=1-\Phi(1{,}00)=1-0{,}84134=0{,}15866.
  1. Arredondando corretamente para 3 casas decimais: 0{,}15866\to 0{,}159.

Passo 4

Calcular P(X>1010).
  1. Padronizo:
z=\frac{1010-1000}{20}=\frac{10}{20}=0{,}50.
  1. Usando a tabela (trecho fornecido), para z=0{,}50 temos \Phi(0{,}50)=0{,}69146. Então
P(X>1010)=1-\Phi(0{,}50)=1-0{,}69146=0{,}30854.
  1. Arredondando para 3 casas decimais: 0{,}30854\to 0{,}309.

Passo 5

Calcular P(X<975).
  1. Padronizo:
z=\frac{975-1000}{20}=\frac{-25}{20}=-1{,}25.
  1. Usamos a simetria da Normal: P(Z<-1{,}25)=1-\Phi(1{,}25). O valor \Phi(1{,}25) não estava no trecho da tabela que você mostrou, então usei o valor padrão conhecido da tabela completa: \Phi(1{,}25)\approx 0{,}89435. (Obs.: se preferir, em prova muitas tabelas dão \Phi(1{,}25)=0{,}89435.)
  2. Assim
P(X<975)=1-0{,}89435=0{,}10565.
  1. Arredondando para 3 casas decimais: 0{,}10565\to 0{,}106.

Passo 6

Agora partimos para o lote de n=200 latas. Primeiro pergunta repetida: “Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que 975 g?” — é exatamente o valor que já calculamos no Passo 5, pois assumimos que a chance para cada lata é a mesma: p=P(\text{lata} < 975)=0{,}10565, que com 3 casas decimais é 0{,}106.

Passo 7

Quantas latas precisam pesar menos que 975 g para o lote ser devolvido?
A regra: lote devolvido se mais que 10\% das latas tiverem peso inferior a 975 g. Com 200 latas, 10\% é 0{,}10\times 200=20. "Mais que 10\%" significa estritamente maior que 20. Portanto, o número mínimo de latas com peso < 975 g para haver devolução é 21 latas.

Passo 8

Qual o modelo de probabilidade adequado e se as pressuposições são atendidas?
Mini-aula rápida: quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada tentativa com duas categorias (sucesso/falha) e mesma probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = lata pesar < 975 g), o número de sucessos X segue uma distribuição Binomial \mathrm{Bin}(n,p). As alternativas eram Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, t-Student. A escolha correta é Binomial porque:
  • n=200 tentativas (latas),
  • cada lata tem mesma probabilidade p de ser “defeituosa” (<975 g),
  • independência entre latas (dado pelo enunciado).
As pressuposições (mesma p para cada lata e independência entre latas) foram explicitamente assumidas no enunciado, logo as pressuposições são atendidas: Sim.

Passo 9

Qual a probabilidade do lote ser devolvido? (cálculo numérico)
  1. Modelo: X\sim \mathrm{Bin}(n=200,p=0{,}10565), onde X é o número de latas com peso < 975 g. Precisamos de
P(\text{lote devolvido})=P(X\ge 21)=1-P(X\le 20).
  1. Cálculo exato por soma binomial é trabalhoso à mão. Como n é grande e p não é extremamente pequeno, usamos a aproximação normal à binomial (método padrão em provas quando n grande):
  • Condição para boa aproximação: np e n(1-p) grandes (geralmente >5). Aqui np=200\cdot0{,}10565\approx21{,}13 e n(1-p)\approx178{,}87, ambas suficientemente grandes. Então a aproximação é adequada.
  • Aproximação com correção de continuidade: P(X\ge21)\approx P\!\left(Y>20{,}5\right) onde Y\sim N(\mu_B,\sigma_B^2) com
\mu_B=np,\qquad \sigma_B=\sqrt{np(1-p)}.
  1. Calculemos \mu_B e \sigma_B (usando p não arredondado):
\mu_B=200\cdot0{,}10565=21{,}130,
\sigma_B=\sqrt{200\cdot0{,}10565\cdot(1-0{,}10565)}=\sqrt{21{,}130\cdot0{,}89435}\approx\sqrt{18{,}886}\approx4{,}3456.
  1. Padronizo para obter a probabilidade:
P(X\ge21)\approx P\!\left(Z>\frac{20{,}5-\mu_B}{\sigma_B}\right) =1-\Phi\!\left(\frac{20{,}5-21{,}130}{4{,}3456}\right).
Calcule o numerador:
20{,}5-21{,}130=-0{,}630.
Então
z=\frac{-0{,}630}{4{,}3456}\approx -0{,}1450.
  1. Assim
P(X\ge21)\approx 1-\Phi(-0{,}1450).
Usando simetria da Normal padrão: 1-\Phi(-a)=\Phi(a). Então
P(X\ge21)\approx \Phi(0{,}1450).
  1. Valor numérico: \Phi(0{,}1450) está entre \Phi(0{,}14)=0{,}55570 e \Phi(0{,}15)=0{,}55962. Interpolando para 0{,}145 obtemos aproximadamente 0{,}55765. Arredondando para 3 casas decimais: 0{,}558.
Portanto, a probabilidade aproximada do lote ser devolvido é 0{,}558.

Passo 10

A probabilidade de devolução é alta?
Interpretando uma probabilidade de 0{,}558 (ou seja, cerca de 55{,}8\%): isso é maior que 50\%, portanto é alta. Resposta: Sim.

Passo 11

Número esperado de lotes devolvidos entre 10 lotes vendidos
Se cada lote tem probabilidade p_{\text{devolução}} \approx 0{,}55765çã (valor não arredondado usado no cálculo), o número esperado de lotes devolvidos em 10 lotes é
\mathbb{E}[\text{devoluções}]=10\cdot p_{\text{devolução}}\approx 10\cdot0{,}55765=5{,}5765.çõçã
Arredondando para 3 casas decimais: 5{,}577.

Resposta

P(\text{lata}<980)=0{,}159
P(\text{lata}>1010)=0{,}309
P(\text{lata}<975)=0{,}106
Probabilidade de uma lata do lote pesar <975 g: 0{,}106
Para o lote ser devolvido: pelo menos 21 latas
Modelo adequado: Binomial
Pressuposições atendidas: Sim
Probabilidade do lote ser devolvido: 0{,}558
Essa probabilidade é alta?: Sim
Número esperado de lotes devolvidos em 10 lotes: 5{,}577

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