O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal com média 1.000 g e desvio padrão 20 g . (resposta com 3 casas decimais, arredonde o número corretamente)
- Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980 g ?
- Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1.010 g ?
- Qual a probabilidade de uma lata pesar menos que 975 g ?
Considere que seja inadmissível uma lata de conserva pesar menos que 975 g, tendo que ser devolvida. Isso geraria custo extra para a empresa, que deverá recolher a lata e fornecer uma com peso adequado. Para evitar prejuízos extremos, a empresa adora a seguinte política: um lote de latas de conservas será devolvido se mais que 10% das latas apresentarem peso inferior a 975 g . Suponha que um lote possua 200 latas de conserva e considere que a chance de qualquer uma dessas latas pesar menos que 975 g seja a mesma e que o peso de uma lata não influencia no peso de outra lata.
- Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que 975 g ?
- Para que o lote seja devolvido, pelo menos quantas latas devem pesar menos que 975 g ?
O interesse está em conhecer qual a probabilidade desse lote ser devolvido.
- Qual o modelo de probabilidade adequado para esse caso?
Bernoulli
Binomial
Poisson
Normal
t-Student
- As pressuposições do modelo são atendidas?
Sim
Não
- Qual a probabilidade de o lote ser devolvido?
- Considerando que cada lote devolvido impacta em um custo extra para a empresa, essa probabilidade de devolução do lote é alta?
Sim
Não
Suponha que 10 lotes de 200 latas foram vendidos. Qual o número esperado de lotes em devolução?
+0.4
.65542
.65910
.66276
.66640
+0.5
.69146
.69497
.69847
.70194
+0.6
.72575
.72907
.73237
.73565
+0.7
.75804
.76115
.76424
.76730
+0.8
.78814
.79103
.79389
.79673
+0.9
.81594
.81859
.82121
.82381
+1
.84134
.84375
.84614
.84849
Considere que seja inadmissível uma lata de conserva pesar menos que 975 g, tendo que ser devolvida. Isso geraria custo extra para a empresa, que deverá recolher a lata e fornecer uma com peso adequado. Para evitar prejuízos extremos, a empresa adora a seguinte política: um lote de latas de conservas será devolvido se mais que 10% das latas apresentarem peso inferior a 975 g . Suponha que um lote possua 200 latas de conserva e considere que a chance de qualquer uma dessas latas pesar menos que 975 g seja a mesma e que o peso de uma lata não influencia no peso de outra lata.
O interesse está em conhecer qual a probabilidade desse lote ser devolvido.
| +0.4 | .65542 | .65910 | .66276 | .66640 |
| +0.5 | .69146 | .69497 | .69847 | .70194 |
| +0.6 | .72575 | .72907 | .73237 | .73565 |
| +0.7 | .75804 | .76115 | .76424 | .76730 |
| +0.8 | .78814 | .79103 | .79389 | .79673 |
| +0.9 | .81594 | .81859 | .82121 | .82381 |
| +1 | .84134 | .84375 | .84614 | .84849 |
Passo 1
O enunciado fornece: o peso bruto de latas é uma variável aleatória com distribuição normal de média
g e desvio-padrão
g. As perguntas iniciais são:
- Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de
g? - Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de
g? - Qual a probabilidade de uma lata pesar menos que
g?
Depois, há uma política de devolução: um lote (com
latas) é devolvido se mais que
das latas pesarem menos que
g. Para essa parte o enunciado pede:
- Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que
g? - Para que o lote seja devolvido, pelo menos quantas latas devem pesar menos que
g? - Qual o modelo de probabilidade adequado? (escolher entre Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, t-Student)
- As pressuposições do modelo são atendidas? (Sim/Não)
- Qual a probabilidade de o lote ser devolvido?
- Essa probabilidade de devolução do lote é alta? (Sim/Não)
Por fim: supondo que 10 lotes de 200 latas foram vendidos, qual o número esperado de lotes em devolução?
Informações numéricas relevantes:
,
,
, limiar de problema para lata:
g, política devolução: mais de
de
é a condição.
Passo 2
Conceito e fórmula básica (mini-aula): quando a variável
é Normal com média
e desvio-padrão
, podemos padronizar para a Normal padrão
(média
, desvio
) com a transformação
Isso significa que
e
Usaremos esses fatos e a tabela da Normal padrão (valores de
). Quando eu citar um número da tabela, direi explicitamente se tirei do trecho de tabela que você forneceu.
Agora calculamos cada probabilidade pedida.
Passo 3
Calcular
.
- Padronizo:
- Usando a tabela da Normal padrão: para
a tabela (trecho fornecido) dá . Como , temos
- Arredondando corretamente para 3 casas decimais:
.
Passo 4
Calcular
.
- Padronizo:
- Usando a tabela (trecho fornecido), para
temos . Então
- Arredondando para 3 casas decimais:
.
Passo 5
Calcular
.
- Padronizo:
-
Usamos a simetria da Normal:
. O valor não estava no trecho da tabela que você mostrou, então usei o valor padrão conhecido da tabela completa: . (Obs.: se preferir, em prova muitas tabelas dão .) -
Assim
- Arredondando para 3 casas decimais:
.
Passo 6
Agora partimos para o lote de
latas. Primeiro pergunta repetida: “Qual a probabilidade de uma lata desse lote pesar menos que
g?” — é exatamente o valor que já calculamos no Passo 5, pois assumimos que a chance para cada lata é a mesma:
, que com 3 casas decimais é
.
Passo 7
Quantas latas precisam pesar menos que
g para o lote ser devolvido?
A regra: lote devolvido se mais que
das latas tiverem peso inferior a
g. Com
latas,
é
. "Mais que
" significa estritamente maior que
. Portanto, o número mínimo de latas com peso <
g para haver devolução é
latas.
Passo 8
Qual o modelo de probabilidade adequado e se as pressuposições são atendidas?
Mini-aula rápida: quando temos um número fixo
de tentativas independentes, cada tentativa com duas categorias (sucesso/falha) e mesma probabilidade
de “sucesso” (aqui “sucesso” = lata pesar < 975 g), o número de sucessos
segue uma distribuição Binomial
. As alternativas eram Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, t-Student. A escolha correta é Binomial porque:
- há
tentativas (latas), - cada lata tem mesma probabilidade
de ser “defeituosa” (<975 g), - independência entre latas (dado pelo enunciado).
As pressuposições (mesma p para cada lata e independência entre latas) foram explicitamente assumidas no enunciado, logo as pressuposições são atendidas: Sim.
Passo 9
Qual a probabilidade do lote ser devolvido? (cálculo numérico)
- Modelo:
, onde é o número de latas com peso < g. Precisamos de
- Cálculo exato por soma binomial é trabalhoso à mão. Como
é grande e não é extremamente pequeno, usamos a aproximação normal à binomial (método padrão em provas quando grande):
- Condição para boa aproximação:
e grandes (geralmente >5). Aqui e , ambas suficientemente grandes. Então a aproximação é adequada. - Aproximação com correção de continuidade:
onde com
- Calculemos
e (usando não arredondado):
- Padronizo para obter a probabilidade:
Calcule o numerador:
Então
- Assim
Usando simetria da Normal padrão:
. Então
- Valor numérico:
está entre e . Interpolando para obtemos aproximadamente . Arredondando para 3 casas decimais: .
Portanto, a probabilidade aproximada do lote ser devolvido é
.
Passo 10
A probabilidade de devolução é alta?
Interpretando uma probabilidade de
(ou seja, cerca de
): isso é maior que
, portanto é alta. Resposta: Sim.
Passo 11
Número esperado de lotes devolvidos entre 10 lotes vendidos
Se cada lote tem probabilidade
(valor não arredondado usado no cálculo), o número esperado de lotes devolvidos em 10 lotes é
Arredondando para 3 casas decimais:
.
Resposta
Probabilidade de uma lata do lote pesar <975 g:
Para o lote ser devolvido: pelo menos
Modelo adequado: Binomial
Pressuposições atendidas: Sim
Probabilidade do lote ser devolvido:
Essa probabilidade é alta?: Sim
Número esperado de lotes devolvidos em 10 lotes: