Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Calcule:
\mathbf{P}\{Z<1.35\}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade \mathbf{P}\{Z<1,35\}. As informações dadas são: Z é uma variável aleatória normal padrão (ou seja, tem média 0 e variância 1). A pergunta é apenas calcular essa probabilidade numérica.

Passo 2

O que significa \mathbf{P}\{Z<1,35\}? Para Z\sim N(0,1) definimos a função de distribuição acumulada
\Phi(z)=\mathbf{P}\{Z<z\}=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Aqui \Phi(z) dá a probabilidade de que Z seja menor que um valor z. A densidade \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2} é a função que descreve como a probabilidade está distribuída ao longo dos valores de Z. Essa integral não tem antiderivada elementar, por isso usamos tabelas da normal padrão, calculadoras ou a função erro (erf) para obter valores numéricos.

Passo 3

Como aplicar na prática: queremos \Phi(1,35)=\mathbf{P}\{Z<1,35\}. Em tabelas da normal padrão (ou em calculadoras estatísticas) os valores de \Phi são tabulados. A leitura típica da tabela consiste em separar a parte inteira e a primeira casa decimal (linha) e a segunda casa decimal (coluna). No nosso caso:
  • separamos 1,35 como 1,3 (linha) e 0,05 (coluna).
    Ao olhar numa tabela padrão da normal, a entrada na linha 1,3 e coluna 0,05 fornece o valor de \Phi(1,35). Peguei esse valor da tabela padrão da normal.

Passo 4

Valor obtido: a tabela padrão dá
\Phi(1,35)=0,9115.
Isso significa que a probabilidade de uma variável normal padrão ser menor que 1,35 é aproximadamente 0,9115. Como checagem conceitual rápida: valores positivos grandes têm \Phi próximos de 1; 1,35 está acima da média, então faz sentido a probabilidade ser alta (cerca de 91{,}15\%).

Resposta

0,9115

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