Contexto: Medições de ruído (dB) em diferentes setores:
Ruído (dB) \quad \mathrm{N}^{\circ} Setores
70 \vdash 75 \quad 3
75 \vdash 80 \quad 8
80 \vdash 85 \quad 12
85 \vdash 90 \quad 5
Total 28
Calcule:
a) Média (ponto médio)
b) Mediana
c) Moda

Passo 1

O enunciado nos dá medições de ruído agrupadas por classes (intervalos) com as respectivas frequências e pede a média (usando ponto médio), a mediana e a moda. Dados fornecidos:
\begin{array}{ll} \text{Classe (dB)} & \text{Frequência } f \\\\ 70\vdash75 & 3\\\\ 75\vdash80 & 8\\\\ 80\vdash85 & 12\\\\ 85\vdash90 & 5 \end{array}ê
Total das observações: \;N=28.
Perguntas:
  1. Calcular a média usando os pontos médios das classes.
  2. Calcular a mediana (valor mediano) para dados agrupados.
  3. Calcular a moda (valor modal) para dados agrupados.

Passo 2

Média por ponto médio — teoria curta antes de calcular:
  • Quando os dados vêm em classes, aproximamos cada observação na classe pelo ponto médio da classe (marca de classe).
  • Fórmula da média amostral grupada:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N}
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, x_i é o ponto médio dessa classe e N é o total das frequências.
Calcular os pontos médios (x_i):
x_1=\frac{70+75}{2}=72,5,\quad x_2=\frac{75+80}{2}=77,5,
x_3=\frac{80+85}{2}=82,5,\quad x_4=\frac{85+90}{2}=87,5.
Calcular os produtos f_i x_i:
3\cdot72,5=217,5,\quad 8\cdot77,5=620,\quad 12\cdot82,5=990,\quad 5\cdot87,5=437,5.
Somar e dividir por N:
\sum_i f_i x_i = 217,5+620+990+437,5=2265.
\bar{x}=\frac{2265}{28}=80,892857\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
\bar{x}\approx 80,89\\ \text{dB}.

Passo 3

Mediana — conceito e escolha do método:
  • A mediana é o valor que divide as observações ao meio: metade abaixo e metade acima.
  • Para dados agrupados usamos interpolação dentro da classe mediana.
  • Uma forma simples e comum usa N/2 para localizar a classe mediana (quando N é par funciona bem). Vou usar essa abordagem básica.
Construir as freqüências acumuladas para localizar a classe que contém a mediana:
\begin{array}{ll} \text{Classe} & \text{Frequência acumulada } F \\\\ 70\vdash75 & 3\\\\ 75\vdash80 & 3+8=11\\\\ 80\vdash85 & 11+12=23\\\\ 85\vdash90 & 23+5=28 \end{array}ê
Como N=28, temos N/2=14. Procuramos a primeira classe cuja frequência acumulada é \ge 14. Essa é a classe 80\vdash85 (acumulada 23), então a classe mediana é 80\vdash85.

Passo 4

Mediana — fórmula e cálculo detalhado:
  • Fórmula usada (interpolação linear dentro da classe):
\text{Mediana}=L+\left(\frac{N/2-F_{ant}}{f_m}\right)\cdot h
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • N é o total das observações,
  • F_{ant} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f_m é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude (largura) das classes.
Identificar os valores:
L=80,\quad N/2=14,\quad F_{ant}=11\\ (\text{acumulado antes de }80\vdash85),\quad f_m=12,\quad h=5.
Aplicar a fórmula:
\text{Mediana}=80+\left(\frac{14-11}{12}\right)\cdot5 =80+\left(\frac{3}{12}\right)\cdot5 =80+0,25\cdot5 =80+1,25 =81,25\\ \text{dB}.

Passo 5

Moda — conceito para dados agrupados e escolha da fórmula:
  • A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para dados agrupados a moda é aproximada pela interpolação dentro da classe modal (a classe com maior frequência).
  • Fórmula comum para a moda em dados agrupados:
\text{Moda}=L+\left(\frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m-f_{m+1})}\right)\cdot h
onde:
  • L é o limite inferior da classe modal,
  • f_m é a frequência da classe modal,
  • f_{m-1} é a frequência da classe anterior,
  • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude da classe.
Identificar a classe modal: a maior frequência é 12 (classe 80\vdash85), então essa é a classe modal. Valores:
L=80,\quad f_m=12,\quad f_{m-1}=8,\quad f_{m+1}=5,\quad h=5.

Passo 6

Calcular a moda passo a passo:
Calcular numerador e denominador da fração:
f_m-f_{m-1}=12-8=4,
f_m-f_{m+1}=12-5=7,
\text{Denominador}=(f_m-f_{m-1})+(f_m-f_{m+1})=4+7=11.
Aplicar na fórmula:
\text{Moda}=80+\left(\frac{4}{11}\right)\cdot5 =80+\frac{20}{11} =80+1,818181\ldots \approx 81,82\\ \text{dB}.

Passo 7

Resumo final e interpretação rápida (controle de sanidade):
  • Média \approx 80,89\\ \text{dB} está entre os pontos médios e próximo do centro das observações (muito peso na classe 80\vdash85).
  • Mediana =81,25\\ \text{dB} indica metade das leituras estão abaixo de \sim81,25\\ \text{dB}.
  • Moda \approx81,82\\ \text{dB} cai dentro da classe modal 80\vdash85 e está um pouco à direita do centro dessa classe, conforme a fórmula de interpolação.

Resposta

Média: 80,89\\ \text{dB}
Mediana: 81,25\\ \text{dB}
Moda: 81,82\\ \text{dB}

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