Contexto: Medições de ruído (dB) em diferentes setores:
Ruído (dB)
Setores
Total 28
Calcule:
a) Média (ponto médio)
b) Mediana
c) Moda
a) Média (ponto médio)
b) Mediana
c) Moda
Passo 1
O enunciado nos dá medições de ruído agrupadas por classes (intervalos) com as respectivas frequências e pede a média (usando ponto médio), a mediana e a moda. Dados fornecidos:
Total das observações:
.
Perguntas:
- Calcular a média usando os pontos médios das classes.
- Calcular a mediana (valor mediano) para dados agrupados.
- Calcular a moda (valor modal) para dados agrupados.
Passo 2
Média por ponto médio — teoria curta antes de calcular:
- Quando os dados vêm em classes, aproximamos cada observação na classe pelo ponto médio da classe (marca de classe).
- Fórmula da média amostral grupada:
onde
é a frequência da i-ésima classe,
é o ponto médio dessa classe e
é o total das frequências.
Calcular os pontos médios
:
Calcular os produtos
:
Somar e dividir por
:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 3
Mediana — conceito e escolha do método:
- A mediana é o valor que divide as observações ao meio: metade abaixo e metade acima.
- Para dados agrupados usamos interpolação dentro da classe mediana.
- Uma forma simples e comum usa
para localizar a classe mediana (quando é par funciona bem). Vou usar essa abordagem básica.
Construir as freqüências acumuladas para localizar a classe que contém a mediana:
Como
, temos
. Procuramos a primeira classe cuja frequência acumulada é
. Essa é a classe
(acumulada 23), então a classe mediana é
.
Passo 4
Mediana — fórmula e cálculo detalhado:
- Fórmula usada (interpolação linear dentro da classe):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total das observações, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) das classes.
Identificar os valores:
Aplicar a fórmula:
Passo 5
Moda — conceito para dados agrupados e escolha da fórmula:
- A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para dados agrupados a moda é aproximada pela interpolação dentro da classe modal (a classe com maior frequência).
- Fórmula comum para a moda em dados agrupados:
onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe anterior, -
é a frequência da classe seguinte, -
é a amplitude da classe.
Identificar a classe modal: a maior frequência é
(classe
), então essa é a classe modal. Valores:
Passo 6
Calcular a moda passo a passo:
Calcular numerador e denominador da fração:
Calcular numerador e denominador da fração:
Aplicar na fórmula:
Passo 7
Resumo final e interpretação rápida (controle de sanidade):
- Média
está entre os pontos médios e próximo do centro das observações (muito peso na classe ). - Mediana
indica metade das leituras estão abaixo de . - Moda
cai dentro da classe modal e está um pouco à direita do centro dessa classe, conforme a fórmula de interpolação.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda:
Mediana:
Moda: