1. É contínua a função f(x)=\left\{\begin{array}{lll}6+x & \text { se } & x \neq 1 \\\\ 5 & \text { se } & x=1\end{array}\right. ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}6+x & \text{se } x\neq 1,\\[4pt] 5 & \text{se } x=1.\end{cases}
A pergunta é: a função f é contínua? (Isto é, em quais pontos ela é contínua e em quais não?)]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa “contínua num ponto”?
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto quer dizer que, ao fazer x ficar arbitrariamente próximo de a, os valores f(x) se aproximam de f(a). Para provar continuidade costuma-se calcular \lim_{x\to a}f(x) e comparar com f(a). Se forem iguais, é contínua em a; se não, é descontínua em a.

Passo 3

Vamos primeiro avaliar o limite quando x\to 1. Para x próximo de 1 (mas x\neq1) vale f(x)=6+x. Então
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} (6+x).
Como 6+x é uma função polinomial (reta), pode-se calcular o limite por substituição:
\lim_{x\to1} (6+x)=6+1=7.

Passo 4

Para ser bem didático e formal, mostro um pequeno argumento \varepsilon- \delta que confirma \lim_{x\to1}f(x)=7.
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então |f(x)-7|<\varepsilon.
Para x\neq1 temos f(x)=6+x, logo
|f(x)-7|=|6+x-7|=|x-1|.
Se escolhermos \delta=\varepsilon, então sempre que 0<|x-1|<\delta teremos |f(x)-7|=|x-1|<\delta=\varepsilon. Assim, a condição do limite é satisfeita e \lim_{x\to1}f(x)=7 está demonstrado.

Passo 5

Compare agora com o valor da função em x=1: o enunciado dá f(1)=5. Como
\lim_{x\to1} f(x)=7\neq 5=f(1),
a condição de continuidade em x=1 falha. Portanto f é descontínua em x=1.
Observação didática: como o limite existe (vale 7) mas o valor da função é diferente ( 5), essa é uma descontinuidade removível — bastaria redefinir f(1) para 7 para restaurar a continuidade em 1.

Passo 6

Agora verifique a continuidade em pontos a\neq1. Se a\neq1, existe um entorno de a que não contém 1, e em todo esse entorno vale f(x)=6+x. Como 6+x é contínua em todos os reais, segue que para qualquer a\neq1
\lim_{x\to a} f(x)=6+a=f(a).
(Formalmente, pode-se usar o mesmo argumento \varepsilon- \delta: |f(x)-(6+a)|=|x-a|, escolher \delta=\varepsilon.) Logo f é contínua em todo x\neq1.

Resposta

Não. A função é descontínua em x=1 (pois \lim_{x\to1}f(x)=7\neq f(1)=5). Ela é contínua para todo x\neq1.

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