Determine o conjunto onde a função
G(x)=raizx1+x^2
é derivável.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto onde a função
G(x)=raizx1+x^2
é derivável. Vamos usar conceitos de domínio (para radicais) e regra da cadeia mais quociente (para derivação).

Passo 2

Para existir temos que
e . Como para todo , basta . Logo

Passo 3

Para x>0, o radicando tfracx1+x^2 é positivo e as operações envolvidas são diferenciáveis. Definindo
u(x)=x1+x^2,
temos
u'(x) =(1+x^2)' cdot x - (1+x^2)cdot x'(1+x^2)^2 =1+x^2-2x^2(1+x^2)^2 =1-x^2(1+x^2)^2
Como G(x)=raizu(x), pela regra da cadeia
G'(x) =u'(x)2raizu(x) =1-x^22,(1+x^2)^2,raizx1+x^2,
que é bem definida e finita para todo x>0.

Passo 4

Em x=0 avaliamos a derivada pelo limite à direita:
limhto0^+G(h)-G(0)h =limhto0^+raiztfrach1+h^2-0h =limhto0^+raizhh,1raiz1+h^2 =limhto0^+1raizh,raiz1+h^2 =+infty
Como esse limite não é finito, G não é derivável em x=0.

Resposta

G é derivável em (0,infty).

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