1. f(x)=ll2 x & se x<1 1 & se x>1 é contínua em 1? Justifique. -1,0,1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 2x, & x<1, 1, & x>1
e pede para verificar continuidade nos pontos x=-1, x=0 e x=1. Lembrando que f é contínua em a se e somente se limxto af(x)=f(a) e f(a) existe.

Passo 2

Para a=-1, temos a<1, então numa vizinhança de -1 vale f(x)=2x. Como a função 2x é contínua em todo real,
limxto -1f(x)=limxto -12x=2cdot(-1)=-2
e
f(-1)=2cdot(-1)=-2
Logo limxto -1f(x)=f(-1) e f(-1) existe, ou seja, f é contínua em -1.

Passo 3

Para a=0, também 0<1 e vale f(x)=2x perto de 0. Assim,
limxto 0f(x)=limxto 02x=0
e
f(0)=2cdot 0=0
Novamente limxto 0f(x)=f(0), logo f é contínua em 0.

Passo 4

Para a=1 ocorre o seguinte:
  • f(1) não está definida (a definição só cobre x<1 e x>1).
  • Mesmo que tentássemos o limite, as laterais são diferentes: limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2, limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1 Como 2neq1, o limite limxto1f(x) não existe.
Portanto não há continuidade em x=1.

Resposta

f é contínua em -1 e em 0, mas descontinua em 1.

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