(2 pontos) Mostre que a função u(x, y)=x y^3-x^3 y é uma função harmônica e encontre uma conjugada harmônica v(x, y) para ela.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,y)=x,y^3-x^3y
é harmônica e, em seguida, encontrar uma função v(x,y) tal que u+iv seja holomorfa.
O conteúdo utilizado envolve (1) verificar que u satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy=0 e (2) aplicar as equações de Cauchy–Riemann
vx=-uy, vy=ux
para determinar v.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de u:
ux = partialpartial xl(xy^3 - x^3yr) = y^3 - 3x^2y,
uy = partialpartial yl(xy^3 - x^3yr) = 3xy^2 - x^3
Agora as derivadas segundas:
uxx = partialpartial x(y^3 - 3x^2y) = -6xy,
uyy = partialpartial y(3xy^2 - x^3) = 6xy
Logo,
uxx+uyy = -6xy + 6xy = 0,
o que prova que u é harmônica.

Passo 3

Para achar v, usamos as equações de Cauchy–Riemann:
vx = -,uy = -(3xy^2 - x^3) = x^3 - 3xy^2,
vy = ux = y^3 - 3x^2y
Integramos vx em relação a x:
v(x,y) = integral (x^3 - 3xy^2),dx = x^44 - 3x^2y^22 + h(y),
onde h(y) é função de integração. Diferenciando em y:
vy = -3x^2y + h'(y)
e igualando a y^3 - 3x^2y obtemos
-3x^2y + h'(y) = y^3 - 3x^2y Longrightarrow h'(y) = y^3 Longrightarrow h(y)=y^44+C
Portanto,
v(x,y) = x^44 - 3x^2y^22 + y^44 + C

Resposta

Uma conjugada harmônica de u é, a menos de constante,
v(x,y)=x^44-3x^2y^22+y^44

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