(2 pontos) Mostre que a função
é uma função harmônica e encontre uma conjugada harmônica
para ela.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica e, em seguida, encontrar uma função tal que
seja holomorfa.
O conteúdo utilizado envolve (1) verificar que satisfaz a equação de Laplace
e (2) aplicar as equações de Cauchy–Riemann
é harmônica e, em seguida, encontrar uma função
O conteúdo utilizado envolve (1) verificar que
para determinar
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
:
Agora as derivadas segundas:
Logo,
o que prova que
é harmônica.
Passo 3
Para achar
, usamos as equações de Cauchy–Riemann:
Integramos
em relação a
:
onde
é função de integração. Diferenciando em
:
e igualando a
obtemos
Portanto,
Resposta
Uma conjugada harmônica de
é, a menos de constante,