(Continuidade) Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados:
Classifique o tipo de descontinuidade (removível, salto ou infinita) da função
g(x)=\frac{1}{x-1}
em x=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função fornecida é g(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • O ponto em que devemos analisar a continuidade é x=1.
  • O enunciado pede: concluir se g é contínua em x=1 e classificar a descontinuidade (removível, de salto ou infinita).

Passo 2

Relembrando, de forma direta e prática, o que significa ser contínuo num ponto e os tipos de descontinuidade (isso é o que normalmente o professor espera ver numa prova).
  • Definição de continuidade em x=a: a função f é contínua em x=a se as três condições seguintes ocorrerem simultaneamente:
    1. f(a) está definida (ou seja, a pertence ao domínio de f);
    2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (isto é, os limites laterais existem e são iguais);
    3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Tipos de descontinuidade (forma prática de reconhecer):
    • Removível: os limites laterais existem e são iguais e finitos, mas f(a) ou não está definido ou é diferente do limite. Ex.: \dfrac{x^2-1}{x-1} em x=1 (buraco que se fecha).
    • Salto: os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes um do outro. Ex.: função definida por partes com valores distintos à esquerda e à direita de um ponto.
    • Infinita (ou assintótica): pelo menos um dos limites laterais diverge para \pm\infty (comportamento de assimptota vertical).

Passo 3

Verificar se g(1) está definida.
  • Substituindo x=1 em g(x)=\dfrac{1}{x-1} temos divisão por zero: x-1=0.
  • Portanto g(1) não está definida; isto elimina imediatamente a possibilidade de continuidade (pois a condição 1 da definição falha).

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=1. Vou fazer isso de modo bem intuitivo e formal ao mesmo tempo.
  • Considere x\to 1^+. Escreva h=x-1. Quando x\to1^+ tem-se h\to 0^+. Então g(x)=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{h}\quad\text{com }h\to 0^+.Como \dfrac{1}{h} cresce sem limite quando h é um número positivo muito pequeno, concluímos que \lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x-1}=+\infty.
  • Agora x\to 1^-. Escreva h=x-1 novamente. Quando x\to1^- tem-se h\to 0^-. Então g(x)=\frac{1}{h}\quad\text{com }h\to 0^-.Para h negativo e com módulo muito pequeno, \dfrac{1}{h} é um número negativo de grande magnitude, logo \lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1}=-\infty.

Passo 5

Interpretação dos resultados e classificação:
  • Os limites laterais não são finitos; um tende a +\infty e o outro a -\infty. Isso caracteriza um comportamento de assíntota vertical em x=1.
  • Como pelo menos um dos limites laterais diverge (na verdade ambos divergem, com sinais opostos), a descontinuidade em x=1 é do tipo infinita (também chamada descontinuidade assintótica ou essencial/infinita).
  • Além disso, como g(1) não está definida e os limites não são finitos, não é removível nem de salto.

Passo 6

Dica rápida para prova (memorização prática):
  • Primeiro olho se a está no domínio; se não está, já sei que há descontinuidade.
  • Segundo, calculo os limites laterais: se ambos finitos e iguais → contínua (se f(a) igual a esse valor); se finitos e diferentes → salto; se pelo menos um diverge para \pm\infty → infinita.
  • Aplicando isso aqui dá logo: descontinuidade infinita em x=1. Vai dar certo na prova — respira fundo e resolve por etapas.

Resposta

Descontinuidade infinita (assintótica) em x=1.

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