(Continuidade) Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados:
Classifique o tipo de descontinuidade (removível, salto ou infinita) da função
em
.
Classifique o tipo de descontinuidade (removível, salto ou infinita) da função
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função fornecida é
. - O ponto em que devemos analisar a continuidade é
. - O enunciado pede: concluir se
é contínua em e classificar a descontinuidade (removível, de salto ou infinita).
Passo 2
Relembrando, de forma direta e prática, o que significa ser contínuo num ponto e os tipos de descontinuidade (isso é o que normalmente o professor espera ver numa prova).
- Definição de continuidade em
: a função é contínua em se as três condições seguintes ocorrerem simultaneamente: -
está definida (ou seja, pertence ao domínio de ); -
existe (isto é, os limites laterais existem e são iguais); -
.
-
- Tipos de descontinuidade (forma prática de reconhecer):
- Removível: os limites laterais existem e são iguais e finitos, mas
ou não está definido ou é diferente do limite. Ex.: em (buraco que se fecha). - Salto: os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes um do outro. Ex.: função definida por partes com valores distintos à esquerda e à direita de um ponto.
- Infinita (ou assintótica): pelo menos um dos limites laterais diverge para
(comportamento de assimptota vertical).
- Removível: os limites laterais existem e são iguais e finitos, mas
Passo 3
Verificar se
está definida.
- Substituindo
em temos divisão por zero: . - Portanto
não está definida; isto elimina imediatamente a possibilidade de continuidade (pois a condição 1 da definição falha).
Passo 4
Calcular os limites laterais em
. Vou fazer isso de modo bem intuitivo e formal ao mesmo tempo.
- Considere
. Escreva . Quando tem-se . Então Como cresce sem limite quando é um número positivo muito pequeno, concluímos que - Agora
. Escreva novamente. Quando tem-se . Então Para negativo e com módulo muito pequeno, é um número negativo de grande magnitude, logo
Passo 5
Interpretação dos resultados e classificação:
- Os limites laterais não são finitos; um tende a
e o outro a . Isso caracteriza um comportamento de assíntota vertical em . - Como pelo menos um dos limites laterais diverge (na verdade ambos divergem, com sinais opostos), a descontinuidade em
é do tipo infinita (também chamada descontinuidade assintótica ou essencial/infinita). - Além disso, como
não está definida e os limites não são finitos, não é removível nem de salto.
Passo 6
Dica rápida para prova (memorização prática):
- Primeiro olho se
está no domínio; se não está, já sei que há descontinuidade. - Segundo, calculo os limites laterais: se ambos finitos e iguais → contínua (se
igual a esse valor); se finitos e diferentes → salto; se pelo menos um diverge para → infinita. - Aplicando isso aqui dá logo: descontinuidade infinita em
. Vai dar certo na prova — respira fundo e resolve por etapas.
Resposta
Descontinuidade infinita (assintótica) em
.