- (Continuidade e derivabilidade
pontos) Dada a funçăo:
b)
é derivável no valor de b encontrado na parte (a)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula no ponto
. Primeiro, na parte (a) a gente encontrou o valor de
que faz a função ser contínua ali. Agora, na parte (b), queremos saber se essa função também é derivável naquele ponto
. Derivável basicamente significa que a função tem uma reta tangente bem definida ali, sem “quebras” ou “picos”. Para isso, a derivada pela esquerda e pela direita em
precisam ser iguais.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de cada parte da função em
.
Primeiro, para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Agora, para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 3
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para a função ser derivável em
, essas duas precisam ser iguais:
Mas já que na parte (a) a gente usou
para garantir a continuidade, aqui as derivadas são iguais, conferindo que:
Então, as derivadas são iguais.
Resposta
Sim,
é derivável no valor de
encontrado na parte (a).