1. (Continuidade e derivabilidade -2,5 pontos) Dada a funçăo:
f(x)=ll 1x, & se 0
b) f(x) é derivável no valor de b encontrado na parte (a)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula no ponto . Primeiro, na parte (a) a gente encontrou o valor de que faz a função ser contínua ali. Agora, na parte (b), queremos saber se essa função também é derivável naquele ponto . Derivável basicamente significa que a função tem uma reta tangente bem definida ali, sem “quebras” ou “picos”. Para isso, a derivada pela esquerda e pela direita em precisam ser iguais.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de cada parte da função em f'1(x) = -1x^2 .
Primeiro, para f'1(b) = -1b^2 , a função é f'2(x) = -14 . A derivada dessa parte é:
f'2(b) = -14
Então, a derivada pela esquerda em é:
Agora, para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 3

Agora, comparamos as duas derivadas:
-1b^2 e -14
Para a função ser derivável em -1b^2 = -14 implies 1b^2 = 14 implies b^2 = 4 implies b = 2 , essas duas precisam ser iguais:
-12^2 = -14
Mas já que na parte (a) a gente usou para garantir a continuidade, aqui as derivadas são iguais, conferindo que:
Então, as derivadas são iguais.

Resposta

Sim, é derivável no valor de encontrado na parte (a).

Exercícios relacionados