Continuidade: Estude a continuidade da função:
f(x)= 2 x+a & , x <= 1 x^2a & , x>1
Resolução: Polinômios de x são contínuos para todo x in R, logo a função acima é contínua para todo x>1 ou x<1. Temos que checar o ponto x=1, pois os limites laterais podem ser diferentes, visto que as funções são diferentes caso o limite seja pela direita ou pela esquerda. De fato:
lim x 1^+ f(x) & =lim x 1^+ x^2a=1a lim x 1^- f(x) & =lim x 1^+ 2 x+a=2+a
Logo, a função f será contínua também em x=1 se, e só se:
2+a & =1a Rightarrow a^2+2 a=1 Rightarrow a^2+2 a+1=2 Rightarrow(a+1)^2=2 & Rightarrow a+1= pm raiz2 Rightarrow a=-1 pm raiz2
Portanto, f(x) é contínua para todo x in R, se a=-1 pm raiz2 e será contínua em x in R-1, caso contrário.

Passo 1

O enunciado define a função
e pede para estudar sua continuidade. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, lembrando que polinômios são contínuos em toda parte e que o possível ponto de descontinuidade é (x=1].

Passo 2

Como 2x+a e tfracx^2a são polinômios (ou quociente de polinômio por constante) elas são contínuas em R. Logo não há problema de continuidade em nenhum ponto com x<1 nem em nenhum ponto com x>1.

Passo 3

Para checar continuidade em x=1, calculamos as limitações laterais e comparamos com o valor de f em 1.
O valor da função em 1 vem do ramo x<=1:
f(1)=2cdot1 + a = 2 + a
A limite pela direita é
limxto1^+f(x) =limxto1^+x^2a =1a,
e a limite pela esquerda é
limxto1^-f(x) =limxto1^-(2x + a) =2 + a

Passo 4

Para que f seja contínua em x=1, é preciso
limxto1^+f(x)=f(1) Long<=ftrightarrow 1a=2 + a
Multiplicando ambos os lados por a obtemos
1 = a(2 + a) Long<=ftrightarrow a^2+2a - 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
a = -2 pm raiz4 + 42 = -1 pm raiz2

Passo 5

Concluímos que:
  • Se a = -1 + raiz2 ou a = -1 - raiz2, então limxto1^+f(x)=limxto1^-f(x)=f(1) e f é contínua em todo R.
  • Para qualquer outro valor de a, a continuidade falha em x=1, mas permanece para xneq1.

Resposta

f é contínua em todo R se, e somente se,
a = -1 pm raiz2
Caso contrário, f é contínua em Rsetminus1, mas descontínua em x=1.

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