Continuidade: Estude a continuidade da função:
Resolução: Polinômios de
são contínuos para todo
, logo a função acima é contínua para todo
ou
. Temos que checar o ponto
, pois os limites laterais podem ser diferentes, visto que as funções são diferentes caso o limite seja pela direita ou pela esquerda. De fato:
Logo, a função
será contínua também em
se, e só se:
Portanto,
é contínua para todo
, se
e será contínua em
, caso contrário.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para estudar sua continuidade. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, lembrando que polinômios são contínuos em toda parte e que o possível ponto de descontinuidade é (x=1].
Passo 2
Como
e
são polinômios (ou quociente de polinômio por constante) elas são contínuas em
. Logo não há problema de continuidade em nenhum ponto com
nem em nenhum ponto com
.
Passo 3
Para checar continuidade em
, calculamos as limitações laterais e comparamos com o valor de
em
.
O valor da função em vem do ramo
:
O valor da função em
A limite pela direita é
e a limite pela esquerda é
Passo 4
Para que
seja contínua em
, é preciso
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Resolvendo a equação do segundo grau:
Passo 5
Concluímos que:
- Se
ou , então e é contínua em todo . - Para qualquer outro valor de
, a continuidade falha em , mas permanece para .
Resposta
Caso contrário,
é contínua em
, mas descontínua em
.