Continuidade de funções.
f(x, y)=llx^3 y2 x^6+y^2, & se (x, y) neq(0,0) alpha & , se(x, y)=(0,0) existe alpha para que a função seja contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0, 0) ou não. Queremos descobrir se existe um valor de alpha que faz com que a função seja contínua nesse ponto específico (0,0). Para isso, vamos precisar usar os conceitos de limite e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, para a função ser contínua em (0, 0), o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, alpha. Então, vamos calcular:
lim(x, y) to (0,0) x^3 y2 x^6+y^2

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos tentar simplificar a expressão. Uma boa estratégia é tentar converter para coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Assim, à medida que (x, y) to (0,0), r to 0.
Substituindo na função:
(r cos theta)^3 (r sin theta)2 (r cos theta)^6 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^3 theta sin theta2 r^6 cos^6 theta + r^2 sin^2 theta

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
r^4 cos^3 theta sin thetar^2 (2 r^4 cos^6 theta + sin^2 theta) = r^2 cos^3 theta sin theta2 r^4 cos^6 theta + sin^2 theta
À medida que r to 0, o termo 2 r^4 cos^6 theta se torna negligenciável comparado com sin^2 theta, então a expressão fica aproximadamente:
r^2 cos^3 theta sin thetasin^2 theta = r^2 cos^3 theta cdot sin thetasin^2 theta = r^2 cos^3 theta cdot 1sin theta

Passo 5

Observamos que, para theta neq 0 e theta neq pi, a expressão ainda contém r^2, que tende a zero conforme r to 0. Portanto, o limite de toda a expressão é zero:
lim(x, y) to (0,0) x^3 y2 x^6+y^2 = 0

Passo 6

Agora que temos o limite, para que a função seja contínua em (0,0), precisamos que:
alpha = lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0

Resposta

Sim, existe alpha = 0 que torna a função contínua em (0,0).

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