Continuidade de funções. existe alpha para que a função seja contínua em (0,0) ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0, 0) ou não. Queremos descobrir se existe um valor de alpha que faz com que a função seja contínua nesse ponto específico (0,0). Para isso, vamos precisar usar os conceitos de limite e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, para a função ser contínua em (0, 0), o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, alpha. Então, vamos calcular:
lim(x, y) to (0,0) x^3 y2 x^6+y^2
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos tentar simplificar a expressão. Uma boa estratégia é tentar converter para coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Assim, à medida que (x, y) to (0,0), r to 0.
Substituindo na função:
(r cos theta)^3 (r sin theta)2 (r cos theta)^6 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^3 theta sin theta2 r^6 cos^6 theta + r^2 sin^2 theta
Observamos que, para theta neq 0 e theta neq pi, a expressão ainda contém r^2, que tende a zero conforme r to 0. Portanto, o limite de toda a expressão é zero:
lim(x, y) to (0,0) x^3 y2 x^6+y^2 = 0
Passo 6
Agora que temos o limite, para que a função seja contínua em (0,0), precisamos que:
alpha = lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0
Resposta
Sim, existe alpha = 0 que torna a função contínua em (0,0).