Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma EDO linear de segunda ordem com termo forçante contendo um impulso de Dirac em
:
O conteúdo envolvido é o uso da transformada de Laplace em EDOs com distribuição (impulso), mais precisamente a aplicação do teorema do deslocamento no domínio de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja
. Pelas condições iniciais
e
, temos
Logo a transformada do lado esquerdo é
Passo 3
Agora a transformada do termo forçante com impulso em
é
Passo 4
Igualando as transformadas, obtém-se
Passo 5
Usamos o teorema do deslocamento: se
, então
Aqui
e
Assim
Passo 6
Falta achar
. Note que
e sabemos que
Logo
Passo 7
Substituindo em
e lembrando do fator
, vem