Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime prime+2 y^prime+2 y=e^t de<a(t-1) y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma EDO linear de segunda ordem com termo forçante contendo um impulso de Dirac em t=1:
y'' + 2y' + 2y = e^t ,de<a(t-1), y(0)=0,; y'(0)=0
O conteúdo envolvido é o uso da transformada de Laplace em EDOs com distribuição (impulso), mais precisamente a aplicação do teorema do deslocamento no domínio de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja Y(s)= Ly(t). Pelas condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, temos
Ly'' = s^2Y(s), Ly' = sY(s), Ly=Y(s)
Logo a transformada do lado esquerdo é
Ly''+2y'+2y = s^2Y(s) + 2,sY(s) + 2Y(s) = (s^2+2s+2),Y(s)

Passo 3

Agora a transformada do termo forçante com impulso em t=1 é
Le^t,de<a(t-1) = integral0^infty e^-st,e^t,de<a(t-1),dt = e^1,e^-s

Passo 4

Igualando as transformadas, obtém-se
(s^2+2s+2),Y(s) = e;e^-s Longrightarrow Y(s) = e,e^-ss^2+2s+2

Passo 5

Usamos o teorema do deslocamento: se F(s)= Lf(t), então
L^-1e^-asF(s) = H(t-a),f(t-a)
Aqui a=1 e
F(s)=1s^2+2s+2
Assim
y(t) = H(t-1), L^-1!es^2+2s+2(t-1)

Passo 6

Falta achar f(t)= L^-11/(s^2+2s+2). Note que
s^2+2s+2 = (s+1)^2+1,
e sabemos que
Le^-tsin t = 1(s+1)^2+1
Logo
L^-11s^2+2s+2(t) = e^-t,sin t

Passo 7

Substituindo em y(t) e lembrando do fator e, vem
y(t) = H(t-1);e;l[e^-(t-1)sin(t-1)r] = H(t-1);e^,1-(t-1);sin(t-1) = H(t-1);e^2-t,sin(t-1)

Resposta

y(t) = 0, & 0 <= t < 1, e^2-t,sinl(t-1r), & t >= 1

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