Sejam F(t)=(t, 1, e^t) e G(t)=i+j+k. Calcule
integral F(t) wed>= G(t) d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais no tempo t :
F(t) = (t, 1, e^t)
G(t) = i + j + k
O que a gente precisa calcular é a integral do produto vetorial dessas duas funções:
integral F(t) wed>= G(t) , dt
Aqui, o símbolo wed>= representa o produto vetorial (ou cruzado). Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e depois integrar cada componente resultante em relação a t .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial F(t) times G(t) . Lembra como fazemos isso? Usamos o seguinte determinante:
F times G = i & j & k Fx & Fy & Fz Gx & Gy & Gz
Substituindo os componentes:
F(t) = (t, 1, e^t) e G(t) = (1, 1, 1)
Então:
F times G = i & j & k t & 1 & e^t 1 & 1 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular esse determinante. Cada componente do produto vetorial é dado por:
i(Fy Gz - Fz Gy) - j(Fx Gz - Fz Gx) + k(Fx Gy - Fy Gx)
Substituindo os valores:
i(1 cdot 1 - e^t cdot 1) - j(t cdot 1 - e^t cdot 1) + k(t cdot 1 - 1 cdot 1)
Simplificando:
i(1 - e^t) - j(t - e^t) + k(t - 1)
Então:
F times G = (1 - e^t, - (t - e^t), t - 1)

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial, precisamos integrar cada uma das suas componentes em relação a t . A integral fica assim:
integral F(t) times G(t) , dt = integral (1 - e^t, - (t - e^t), t - 1) dt
Vamos integrar componente por componente.

Passo 5

Primeira componente:
integral (1 - e^t) , dt = integral 1 , dt - integral e^t , dt = t - e^t + C1
Segunda componente:
integral - (t - e^t) , dt = - integral t , dt + integral e^t , dt = -t^22 + e^t + C2
Terceira componente:
integral (t - 1) , dt = integral t , dt - integral 1 , dt = t^22 - t + C3

Resposta

A integral do produto vetorial F(t) wed>= G(t) é:
integral F(t) wed>= G(t) , dt = (t - e^t + C1, -t^22 + e^t + C2, t^22 - t + C3)
Onde C1 , C2 e C3 são constantes de integração.

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