(Continuidade de funções) Prove que a função
f(x)= (2 x+4), & se x<2 ; 3, & se x=2 ; (2 x-2)^3 & se x>2
é descontínua em x=2. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina f(x) para que seja contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2x+4,&se x<2, 3,&se x=2, (2x-2)^3,&se x>2,
e pede para mostrar que f é descontínua em x=2, classificar a descontinuidade e, se for removível, redefinir f para torná-la contínua. Lembrando que f é contínua em x=2 se e somente se
limxto2^-f(x) =limxto2^+f(x) = f(2)

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda usando o ramo f(x)=2x+4 para x<2. Temos
limxto2^-f(x) =limxto2^-(2x+4) =2cdot2+4 =8

Passo 3

Calcular o limite pela direita usando o ramo f(x)=(2x-2)^3 para x>2. Obtemos
limxto2^+f(x) =limxto2^+(2x-2)^3 =(2cdot2-2)^3 =2^3 =8

Passo 4

Como
limxto2^-f(x) =limxto2^+f(x) =8,
o limite limxto2f(x) existe e vale 8. Porém o valor da função em x=2 é f(2)=3, diferente de 8. Logo f é descontínua em x=2.

Passo 5

Aqui o limite existe e é finito, mas não coincide com f(2), caracterizando uma descontinuidade removível. Para remover a descontinuidade basta redefinir
f(2)=8
Com essa nova definição, passa a valer
limxto2f(x)=f(2)=8,
e então f fica contínua em x=2.

Resposta

A função é descontínua em x=2 por descontinuidade removível. Redefinindo f(2)=8, f torna-se contínua em x=2.

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