(2,0) Continuidade de funções em várias variáveis:
(a) Calcule o valor de a para que a função f seja contínua na origem, em que
f(x, y)=cl e^(x y^32 x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) a, & (x, y)=(0,0)
(b) Considerando o valor de a do item anterior, analise a continuidade da função e responda se f é contínua?

Passo 1

O exercício é sobre continuidade de funções de duas variáveis. A gente tem
Precisamos achar o valor de que faz f contínua na origem e, depois, dizer se f é contínua de fato.

Passo 2

Pra testar continuidade na origem, a gente calcula
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e iguala ao valor de f em (0,0), que é a. Como exp é contínua, é suficiente ver
lim(x,y)to(0,0)expl(xy^32x^2+y^2r)

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares. Seja
x=rcostheta, y=rsintheta
Então o expoente vira
xy^32x^2+y^2=rcostheta,(rsintheta)^32(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^2costheta,sin^3theta2cos^2theta+sin^2theta
Como o fator angular é limitado, esse produto tende a 0 quando rto0.

Passo 4

Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=exp(0)=1 .
Para continuidade, igualamos a=1. Com esse valor, f(0,0)=limite, então f é contínua na origem. Nos demais pontos f é composição de funções contínuas, logo f é contínua em todo o domínio.

Resposta

O valor de a é 1 e, com esse valor, f é contínua em todo o domínio.

Exercícios relacionados