Continuidade de funções em várias variáveis:
(a) Calcule o valor de
para que a função
seja contínua na origem, em que
(b) Considerando o valor de
do item anterior, analise a continuidade da função e responda se
é contínua?
(a) Calcule o valor de
Passo 1
O exercício é sobre continuidade de funções de duas variáveis. A gente tem
Precisamos achar o valor de
que faz f contínua na origem e, depois, dizer se f é contínua de fato.
Passo 2
Pra testar continuidade na origem, a gente calcula
e iguala ao valor de f em (0,0), que é
. Como exp é contínua, é suficiente ver
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares. Seja
Então o expoente vira
Como o fator angular é limitado, esse produto tende a 0 quando
.
Passo 4
Logo
.
Para continuidade, igualamos . Com esse valor, f(0,0)=limite, então f é contínua na origem. Nos demais pontos f é composição de funções contínuas, logo f é contínua em todo o domínio.
Para continuidade, igualamos
Resposta
O valor de
é 1 e, com esse valor,
é contínua em todo o domínio.