Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
8 a^3-125 b^3 e 8 a^3+125 b^3;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões
8a^3-125b^3
e
8a^3+125b^3,
reconhecendo que são, respectivamente, uma diferença de cubos e uma soma de cubos. Vamos usar as fórmulas gerais de fatoração para cubos.

Passo 2

Reescrevemos cada termo como cubo perfeito:
8a^3=(2a)^3, 125b^3=(5b)^3

Passo 3

Para a diferença de cubos usamos a fórmula
A^3-B^3=(A-B)l(A^2+AB+B^2r)
Aqui A=2a e B=5b. Substituindo e simplificando, temos
(2a)^3-(5b)^3=(2a-5b)l((2a)^2+2acdot5b+(5b)^2r) =(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)

Passo 4

Para a soma de cubos usamos a fórmula
A^3+B^3=(A+B)l(A^2-AB+B^2r)
Com A=2a e B=5b, segue
(2a)^3+(5b)^3=(2a+5b)l((2a)^2-2acdot5b+(5b)^2r) =(2a+5b)(4a^2-10ab+25b^2)

Resposta

8a^3-125b^3=(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2),
8a^3+125b^3=(2a+5b)(4a^2-10ab+25b^2)

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