(1,0) Sejam
e
. Mostre que se
e
existem, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e um ponto
. Sabemos que os limites
existem, e precisamos mostrar que
O conteúdo utilizado será a definição
–
de limite em
e a desigualdade triangular para valores absolutos.
Passo 2
Denotemos
Queremos provar que
Para isso, tomamos um
arbitrário e vamos encontrar um
tal que
Passo 3
Como
limxto x0f(x)=Lf , existe
de<a1>0 tal que
De modo análogo, como
limxto x0g(x)=Lg , existe
de<a2>0 tal que
Então, definimos
Passo 4
Se
0<|x-x0|<de<a , então simultaneamente
l|f(x)-Lfr|<tfracvarepsilon2 e
l|g(x)-Lgr|<tfracvarepsilon2 .
Pela desigualdade triangular temos
Pela desigualdade triangular temos
Isso mostra exatamente, pela definição
varepsilon –
de<a , que