(1,0) Sejam f, g: R^n R e x0 in R^n. Mostre que se lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) existem, então lim x x0[f(x)+ g(x)]=lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g:R^ntoR e um ponto x0inR^n. Sabemos que os limites
limxto x0f(x) e limxto x0g(x)
existem, e precisamos mostrar que
limxto x0l[f(x)+g(x)r] = limxto x0f(x) + limxto x0g(x)
O conteúdo utilizado será a definição varepsilon de<a de limite em R^n e a desigualdade triangular para valores absolutos.

Passo 2

Denotemos
Lf = limxto x0f(x), Lg = limxto x0g(x)
Queremos provar que
limxto x0l[f(x)+g(x)r] = Lf + Lg
Para isso, tomamos um varepsilon>0 arbitrário e vamos encontrar um de<a>0 tal que
0<|x-x0|<de<a Longrightarrow l|f(x)+g(x)-(Lf+Lg)r|<varepsilon

Passo 3

Como limxto x0f(x)=Lf, existe de<a1>0 tal que
0<|x-x0|<de<a1 Longrightarrow l|f(x)-Lfr|<varepsilon2
De modo análogo, como limxto x0g(x)=Lg, existe de<a2>0 tal que
0<|x-x0|<de<a2 Longrightarrow l|g(x)-Lgr|<varepsilon2
Então, definimos
de<a = minde<a1,de<a2

Passo 4

Se 0<|x-x0|<de<a, então simultaneamente
l|f(x)-Lfr|<tfracvarepsilon2 e
l|g(x)-Lgr|<tfracvarepsilon2.
Pela desigualdade triangular temos
l|f(x)+g(x)-,(Lf+Lg)r| <= l|f(x)-Lfr| + l|g(x)-Lgr| < varepsilon2+varepsilon2 = varepsilon
Isso mostra exatamente, pela definição varepsilon de<a, que
limxto x0l[f(x)+g(x)r] = Lf + Lg

Resposta

limxto x0l[f(x)+g(x)r] = limxto x0f(x) + limxto x0g(x)

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