Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
8 x^3-27 y^3 e 8 x^3+27 y^3;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões ,8x^3 - 27y^3 e ,8x^3 + 27y^3. Vamos usar as fórmulas de soma e diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b)l(a^2 + ab + b^2r)
a^3 + b^3 = (a + b)l(a^2 - ab + b^2r)
e identificar a e b em cada caso.

Passo 2

Para ,8x^3 - 27y^3 note que
8x^3 = (2x)^3
27y^3 = (3y)^3
Aplicando a fórmula da diferença de cubos:
8x^3 - 27y^3 = (2x - 3y)l((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2r)
Agora calculamos cada termo quadrático:
(2x)^2 = 4x^2
(2x)(3y) = 6xy
(3y)^2 = 9y^2
Logo
8x^3 - 27y^3 = (2x - 3y)l(4x^2 + 6xy + 9y^2r)

Passo 3

Para ,8x^3 + 27y^3 fazemos o mesmo, agora com soma de cubos:
8x^3 = (2x)^3
27y^3 = (3y)^3
Aplicando a fórmula da soma de cubos:
8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)l((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2r)
Usando os mesmos cálculos de antes para os quadrados e produto:
(2x)^2 = 4x^2, (2x)(3y) = 6xy, (3y)^2 = 9y^2
Logo
8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)l(4x^2 - 6xy + 9y^2r)

Resposta

8x^3 - 27y^3 = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2),
8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)

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