Se
são primos, prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são números primos com
, e pede para mostrar que
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em especial que primos maiores que 2 são ímpares e que primos diferentes de 3 satisfazem
.
Passo 2
Se
é primo e
, então
é ímpar. Escrevendo
, temos
Entre
e
um deles é par, logo
é múltiplo de 2. Portanto
é múltiplo de
. Concluímos
Passo 3
Como
é primo e
, temos
, logo
não é múltiplo de 3. Os restos possíveis de dividir por 3 são então
ou
, isto é,
Passo 4
Dos passos anteriores tiramos que, para todo primo
,
Como
, concluímos
Em particular vale para
e para
.
Passo 5
Se
e
, então
o que significa exatamente
.