Se p \geq q \geq 5 são primos, prove que 24 \mid\left(p^{2}-q^{2}\right).

Passo 1

O enunciado diz que p e q são números primos com p\ge q\ge5, e pede para mostrar que
24 \mid \bigl(p^2 - q^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em especial que primos maiores que 2 são ímpares e que primos diferentes de 3 satisfazem m\equiv\pm1\pmod3.

Passo 2

Se m é primo e m\ge5, então m é ímpar. Escrevendo m = 2k+1, temos
m^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k(k+1).
Entre k e k+1 um deles é par, logo k(k+1) é múltiplo de 2. Portanto
m^2 - 1 = 4 \times \bigl(\text{um número par}\bigr)ú
é múltiplo de 8. Concluímos
m^2 \equiv 1 \pmod 8.

Passo 3

Como m é primo e m\ge5, temos m\neq3, logo m não é múltiplo de 3. Os restos possíveis de dividir por 3 são então 1 ou -1, isto é,
m\equiv \pm1\pmod3 \quad\Longrightarrow\quad m^2\equiv 1\pmod3.

Passo 4

Dos passos anteriores tiramos que, para todo primo m\ge5,
m^2\equiv 1\pmod8 \quad\text{e}\quad m^2\equiv 1\pmod3.
Como \mathrm{lcm}(8,3)=24, concluímos
m^2\equiv 1\pmod{24}.
Em particular vale para m=p e para m=q.

Passo 5

Se p^2\equiv1\pmod{24} e q^2\equiv1\pmod{24}, então
p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{24},
o que significa exatamente 24\mid(p^2 - q^2).

Resposta

24 \mid\bigl(p^2 - q^2\bigr).

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