Numa contração súbita em um tubo os diâmetros variam de \mathrm{D}_{1} para \mathrm{D}_{2}. A queda de pressão, \Delta \mathrm{P}, que acontece ao longo da contração é uma função de \mathrm{D}_{1} e \mathrm{D}_{2}, bem como da velocidade, V , no tubo mais largo, da viscosidade do fluido, \mu, e da densidade, \rho. Use \mathrm{D}_{1}, V , e \mu como os parâmetros que se repetem nos cálculos para determinar os parâmetros adimensionais envolvidos. Por que seria incorreto incluir, além das já utilizadas, a velocidade no tubo mais estreito como uma variável adicional?

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema de Buckingham– \Pi a uma contração súbita onde
\Delta P depende de
\,D_{1},\,D_{2},\,V,\,\mu,\,\rho.
Temos n=6 variáveis e k=3 dimensões fundamentais ( M,L,T), logo haverá n-k=3 parâmetros adimensionais.

Passo 2

Escolhemos como variáveis repetidas
\,D_{1} (comprimento), \,V (velocidade) e \,\mu (viscosidade),
pois suas dimensões combinam M,L,T e não são todas proporcionais entre si.

Passo 3

Formamos \Pi_{1} envolvendo \Delta P:
\Pi_{1} = \Delta P \;D_{1}^{a}\;V^{b}\;\mu^{c}.
Dimensões:
\Delta P:[M L^{-1}T^{-2}],\;D_{1}:[L],\;V:[L T^{-1}],\;\mu:[M L^{-1}T^{-1}].
Impondo
M^{1+c}L^{-1+a+b-c}T^{-2-b-c}=M^{0}L^{0}T^{0}
vem
1+c=0,\quad -1+a+b-c=0,\quad -2-b-c=0
resolvendo: c=-1, b=-1, a=1. Logo
\Pi_{1}=\Delta P\;D_{1}^{1}\;V^{-1}\;\mu^{-1} =\frac{\Delta P\,D_{1}}{\mu\,V}.

Passo 4

Formamos \Pi_{2} envolvendo D_{2}:
\Pi_{2}=D_{2}\;D_{1}^{a}\;V^{b}\;\mu^{c}.
Dimensões:
[L]\, [L]^{a}[L]^{b}T^{-b}M^{c}L^{-c}.
Impondo cancelamento dá c=0, b=0, 1+a=0\Rightarrow a=-1.
Logo
\Pi_{2}=\frac{D_{2}}{D_{1}}.

Passo 5

Formamos \Pi_{3} envolvendo \rho:
\Pi_{3}=\rho\;D_{1}^{a}\;V^{b}\;\mu^{c}.
Dimensões:
\rho:[M L^{-3}],\;D_{1}:[L],\;V:[L T^{-1}],\;\mu:[M L^{-1}T^{-1}].
Impondo
M^{1+c}L^{-3+a+b-c}T^{-b-c}=1
vem c=-1, b=1, a=1.
Então
\Pi_{3}=\rho\,D_{1}^{1}\,V^{1}\,\mu^{-1} =\frac{\rho\,D_{1}\,V}{\mu},
que é o número de Reynolds.

Passo 6

Resumindo, os três parâmetros adimensionais são
\Pi_{1}=\frac{\Delta P\,D_{1}}{\mu\,V},\quad \Pi_{2}=\frac{D_{2}}{D_{1}},\quad \Pi_{3}=\frac{\rho\,D_{1}\,V}{\mu}.

Passo 7

Incluir a velocidade no tubo estreito V_{2} seria incorreto porque, para um fluido incompressível,
V_{2} é dado por continuidade como
V_{2}=V\,\Bigl(\frac{D_{1}}{D_{2}}\Bigr)^{2},
ou seja, não é variável independente mas sim combinação de V e D_{2}/D_{1}. Portanto não gera um novo \Pi independente.

Resposta

\displaystyle \Pi_{1}=\frac{\Delta P\,D_{1}}{\mu\,V},\quad \Pi_{2}=\frac{D_{2}}{D_{1}},\quad \Pi_{3}=\frac{\rho\,D_{1}\,V}{\mu}.
Não se inclui V_{2} pois ela é função de V e D_{2}/D_{1} (continuidade) e não traz nova informação independente.

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