4 { }^{\text {a }} Questão (20) Considere o escoamento dado por \vec{V}=K_{1} \vec{i}+K_{2} x \vec{j}, sendo K_{1} e K_{2} constantes positivas. (a) O escoamento é permanente? Por quê? (b) O escoamento é incompressivel? Por quê? (c) Sendo o caso, determine a função corrente \psi(x, y). (d) Em seguida, esboce as linhas de corrente e dê uma possível interpretação para o escoamento. (e) Qual é o campo de aceleração desse escoamento?

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento bidimensional \vec V=(u,v)=\bigl(K_{1},K_{2}x\bigr), com K_{1},K_{2}>0. Vamos usar: definição de escoamento permanente ( \partial\vec V/\partial t=0), incompressível ( \nabla\cdot\vec V=0), existência de função corrente em 2D ( u=\partial\psi/\partial y,\;v=-\partial\psi/\partial x) e aceleração material \displaystyle\vec a=(\vec V\cdot\nabla)\vec V.

Passo 2

(a) O escoamento é permanente porque não há dependência explícita de tempo em \vec V, ou seja,
\frac{\partial \vec V}{\partial t}=\vec 0.

Passo 3

(b) O escoamento é incompressível pois
\nabla\cdot\vec V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =0+0=0.

Passo 4

(c) Para encontrar \psi(x,y) integramos
u=K_{1}=\frac{\partial \psi}{\partial y}\quad\Rightarrow\quad\psi=K_{1}y+f(x),
v=K_{2}x=-\frac{\partial \psi}{\partial x}\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial \psi}{\partial x}=-K_{2}x \;\Rightarrow\;\psi=-\frac{K_{2}}{2}x^{2}+g(y).
Juntando as duas integrações e absorvendo constantes,
\boxed{\psi(x,y)=K_{1}y-\frac{K_{2}}{2}\,x^{2}+C.}

Passo 5

(d) As linhas de corrente são dadas por \psi(x,y)=\text{cte}, i.e.
K_{1}y-\frac{K_{2}}{2}x^{2}=C \;\Longrightarrow\; y=\frac{K_{2}}{2K_{1}}x^{2}+\frac{C}{K_{1}},
família de parábolas abertas para cima. Interpretação: superposição de um escoamento uniforme horizontal com uma taxa de cisalhamento vertical linear em x, gerando um fluxo que sobe quando x>0 e desce quando x<0.

Passo 6

(e) A aceleração material é
\vec a=(u\partial_{x}+v\partial_{y})(u,v).
Como \partial_{x}u=\partial_{y}u=0, \partial_{y}v=0 e \partial_{x}v=K_{2}, obtemos
a_{x}=K_{1}\cdot0+K_{2}x\cdot0=0, \quad a_{y}=K_{1}\cdot K_{2}+K_{2}x\cdot0=K_{1}K_{2}.
Logo \displaystyle\vec a=(0,K_{1}K_{2}).

Resposta

(a) O escoamento é permanente pois \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0.
(b) É incompressível pois \nabla \cdot \vec{V} = 0.
(c) \displaystyle \psi(x,y) = K_{1} y - \tfrac{K_{2}}{2} x^{2} + C.
(d) Linhas de corrente K_{1} y - \tfrac{K_{2}}{2} x^{2} = \mathrm{cte}, parábolas; fluxo uniforme em x com cisalhamento vertical linear.
(e) \displaystyle \vec{a} = (0, K_{1} K_{2}).

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