4^{\mathrm{a}} Questão (20) O campo de velocidades de um escoamento é dado por \mathbf{V}=K(y \mathbf{i}-x \mathbf{j}), sendo K uma constante positiva. (a) O escoamento é permanente? Por quê? (b) O escoamento é incompressível? Por quê? (c) Sendo o caso, determine a função corrente \psi(x, y). (d) Em seguida, esboce as linhas de corrente e dê uma possível interpretação para o escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
\mathbf{V}(x,y)=K\bigl(y\,\mathbf{i}-x\,\mathbf{j}\bigr),
com K>0 constante, e pede:
(a) se o escoamento é permanente;
(b) se é incompressível;
(c) a função corrente \psi(x,y);
(d) esboço das linhas de corrente e interpretação física.
O conteúdo envolvido é mecânica dos fluidos: definição de escoamento permanente, condição de incompressibilidade via divergência nula e uso de função corrente em fluxos bidimensionais.

Passo 2

Para verificar se o escoamento é permanente, lembramos que um escoamento é permanente se o campo de velocidade não depende explicitamente do tempo. Aqui \mathbf{V}(x,y) não contém t, logo
o escoamento é permanente.

Passo 3

Para testar incompressibilidade usamos a condição
\nabla\!\cdot\mathbf{V} =\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}.
Como V_x=K\,y e V_y=-K\,x, temos
\frac{\partial V_x}{\partial x} =\frac{\partial (K\,y)}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial V_y}{\partial y} =\frac{\partial (-K\,x)}{\partial y}=0,
logo \nabla\!\cdot\mathbf{V}=0. Portanto, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Para fluxos bidimensionais incompressíveis existe função corrente \psi(x,y) tal que
V_x=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad V_y=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Igualando a V_x=K\,y vem
\frac{\partial \psi}{\partial y}=K\,y \quad\Longrightarrow\quad \psi(x,y)=\int K\,y\,dy=\frac{K\,y^2}{2}+f(x).
Em seguida, de V_y=-\partial\psi/\partial x=-K\,x obtemos
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\frac{d f}{dx}=-K\,x \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=K\,x \quad\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{K\,x^2}{2}+C.
Descartando a constante C, concluímos
\psi(x,y)=\frac{K}{2}\bigl(x^2+y^2\bigr).

Passo 5

As linhas de corrente são as curvas de \psi= constante, isto é
\frac{K}{2}(x^2+y^2)=\text{constante} \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=\text{constante},
ou seja, círculos centrados na origem. Graficamente, concentricamente.
Fisicamente, este escoamento corresponde a uma rotação rígida em torno da origem com velocidade angular \omega=-K (sentido horário), pois em coordenadas polares obtém-se V_\theta=-K\,r e V_r=0. É um escoamento de corpo rígido em rotação.

Resposta

(a) Sim, é permanente, pois \mathbf{V} não depende de t.
(b) Sim, é incompressível, pois \nabla\!\cdot\mathbf{V}=0.
(c) \displaystyle \psi(x,y)=\tfrac{K}{2}(x^2+y^2).
(d) Linhas de corrente são círculos x^2+y^2=\text{const}. O escoamento é uma rotação rígida em torno da origem (sentido horário).

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