Um controle de embalagens para creme dental fornecidas por uma fábrica permitiu constatar que, dentre 15.000 unidades, havia 369 defeituosas. Adotando-se esta referência como estimativa para a fração defeituosa, pede-se:
Para uma amostra de 60 unidades, qual a probabilidade de se ter até 3 defeituosas?

Passo 1

O enunciado nos dá uma taxa de defeituosos estimada por
p = \frac{369}{15000}\approx0,0246
e uma amostra de tamanho n=60. Queremos a probabilidade de, nessa amostra, ocorrer até 3 unidades defeituosas. O modelo adequado é a distribuição binomial (com n=60 e p\approx0,0246), embora, devido a p pequeno, possamos usar a aproximação de Poisson.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de unidades defeituosas na amostra de 60, então
X\sim \mathrm{Bin}(n=60,\;p=0,0246),
e o que se busca é
P(X \le 3)\;=\;\sum_{k=0}^{3}\binom{60}{k}\,p^k\,(1-p)^{60-k}.

Passo 3

Para simplificar o cálculo, usamos a aproximação de Poisson quando n é moderado e p é pequeno, isto é,
X\approx \mathrm{Poisson}(\lambda),\quad \lambda = n\,p = 60\times0,0246 = 1,476.
Nesse caso,
P(X\le3)\approx \sum_{k=0}^{3}\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente os termos de Poisson, temos
P(X\le3)\approx e^{-1,476}\Bigl(1 + 1,476 + \frac{1,476^2}{2!} + \frac{1,476^3}{3!}\Bigr).

Passo 5

Calculando numericamente:
e^{-1,476}\approx0,2285,\quad e^{-1,476}\times1,476\approx0,3371,\quad e^{-1,476}\times\frac{1,476^2}{2!}\approx0,2488,\quad e^{-1,476}\times\frac{1,476^3}{3!}\approx0,1225,
logo
P(X\le3)\approx0,2285+0,3371+0,2488+0,1225 = 0,9369.

Resposta

A probabilidade de ter até 3 defeituosas na amostra é aproximadamente 0,937.

Exercícios relacionados