Um fabricante de produtos de plástico industrial produz engrenagens tracionadoras para impressoras de certo modelo, das quais aproximadamente 2 em 100 são defeituosas. Para uma amostra de 10 unidades deste modelo de engrenagem, qual a probabilidade de que 3 ou mais unidades saiam defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, 2 em cada 100 engrenagens são defeituosas. Vamos amostrar n=10 unidades e queremos a probabilidade de que pelo menos 3 sejam defeituosas. O conteúdo aplicado é a distribuição binomial.

Passo 2

Defina X como o número de engrenagens defeituosas na amostra de 10. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=10,\;p=0,02\bigr)
e
P(X=k)=\binom{10}{k}(0,02)^{k}(0,98)^{10-k}.

Passo 3

Queremos
P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].

Passo 4

Calcule cada termo:
P(X=0)=\binom{10}{0}(0,02)^{0}(0,98)^{10}=(0,98)^{10},
P(X=1)=\binom{10}{1}(0,02)^{1}(0,98)^{9}=10\cdot0,02\cdot(0,98)^{9},
P(X=2)=\binom{10}{2}(0,02)^{2}(0,98)^{8}=45\cdot(0,02)^{2}\cdot(0,98)^{8}.

Passo 5

Aproximando numericamente:
(0,98)^{10}\approx0,8171,\quad 10\cdot0,02\cdot(0,98)^{9}\approx0,1668,\quad 45\cdot0,0004\cdot(0,98)^{8}\approx0,0153.
Logo
P(X\le2)\approx0,8171+0,1668+0,0153=0,9992
e então
P(X\ge3)=1-0,9992=0,0008\approx8{,}2\times10^{-4}.

Resposta

A probabilidade de saírem 3 ou mais defeituosas é aproximadamente 0,0008 (ou 0{,}08\%).

Exercícios relacionados