Uma fábrica de garrafas de vidro sabe, a partir de dados históricos, que em média 2 garrafas apresentam trincas por hora de produção. Suponha que o processo produza milhares de garrafas por hora.
Qual a probabilidade de no máximo 1 garrafa trincada em 15 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de Poisson em que, em média, ocorrem \,2 garrafas trincadas por hora. Queremos a probabilidade de ocorrer no máximo \,1 garrafa trincada em um intervalo de \,15 minutos. O conteúdo usado é a distribuição de Poisson, cuja probabilidade de k eventos num intervalo com média \lambda é dada por
P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.

Passo 2

Para ajustar a média ao intervalo de \,15 minutos, convertemos para horas:
15\text{ min} = \tfrac{15}{60}\text{ h} = 0{,}25\text{ h}.
Como a taxa é \,2 trincas por hora, a média no intervalo de 0{,}25 h é
\lambda_{0{,}25} = 2 \times 0{,}25 = 0{,}5.

Passo 3

Queremos P(X\le1), que se expande em
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).

Passo 4

Calculando cada termo com \lambda=0{,}5:
P(X=0)=\frac{0{,}5^0 e^{-0{,}5}}{0!}=e^{-0{,}5}},
P(X=1)=\frac{0{,}5^1 e^{-0{,}5}}{1!}=0{,}5\,e^{-0{,}5}}.
Somando,
P(X\le1)=e^{-0{,}5}+0{,}5\,e^{-0{,}5}}=1{,}5\,e^{-0{,}5}}.

Passo 5

Aproximando numericamente com e^{-0{,}5}\approx0{,}60653:
P(X\le1)\approx1{,}5\times0{,}60653\approx0{,}9098.

Resposta

A probabilidade de no máximo uma garrafa trincada em 15 minutos é aproximadamente 0{,}9098.

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