Uma indústria de parafusos produz lotes com milhares de unidades. Em média, 3% dos parafusos apresentam roscas fora do padrão e são considerados defeituosos. Durante a inspeção de qualidade, um supervisor seleciona 20 parafusos de um lote para análise. Qual é a probabilidade de encontrar no máximo 1 parafuso defeituoso nessa amostra?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de n=20 parafusos e a probabilidade de cada parafuso ser defeituoso é p=0,03. Queremos a probabilidade de encontrar no máximo 1 parafuso defeituoso nessa amostra. O conteúdo envolvido é a distribuição binomial, que modela o número de sucessos (aqui “sucesso” = parafuso defeituoso) em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio.

Passo 2

Para uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p, a probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 3

Calcular P(X=0), ou seja, nenhum parafuso defeituoso:
P(X=0) = \binom{20}{0}\,(0,03)^0\,(0,97)^{20} = (0,97)^{20}.

Passo 4

Calcular P(X=1), ou seja, exatamente um parafuso defeituoso:
P(X=1) = \binom{20}{1}\,(0,03)^1\,(0,97)^{19} = 20 \times 0,03 \times (0,97)^{19}.

Passo 5

A probabilidade de no máximo 1 defeituoso é
P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1).

Passo 6

Substituindo numericamente:
P(X=0) = (0,97)^{20} \approx 0,5439,
P(X=1) = 20 \times 0,03 \times (0,97)^{19} \approx 0,3360,
P(X\le1) \approx 0,5439 + 0,3360 = 0,8799.

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 1 parafuso defeituoso é aproximadamente 0,88 (ou 87{,}99\%).

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