Para o controle de qualidade do processo de fabricação de um certo tipo de peca, 4 pecas são selecionadas uma após a outra, aleatória e periodicamente, e sem reposição dos itens ao lote. A proporção de pecas defeituosas nesse processo é de 0.04.
[5] Calcule as probabilidades de que na amostra selecionada: (i) O dois primeiros itens selecionados sejam defeituosos;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação de peças onde 4 peças são selecionadas uma depois da outra, de forma aleatória e sem colocar de volta no lote. A proporção de peças defeituosas nesse processo é de 0,04 (ou seja, 4%). A pergunta é: qual é a probabilidade de que os dois primeiros itens selecionados sejam defeituosos?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, ou seja, a seleção de uma peça afeta a próxima. Precisamos calcular a probabilidade do primeiro item ser defeituoso e, em seguida, a probabilidade do segundo item também ser defeituoso, dado que o primeiro já foi retirado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o primeiro item selecionado ser defeituoso. Sabendo que 4% das peças são defeituosas, a probabilidade é simplesmente 0,04.
P(Primeiro defeituoso) = 0,04

Passo 3

Agora, como não estamos reposicionando a peça, o lote fica com uma peça a menos. Se a primeira peça foi defeituosa, agora temos uma peça defeituosa a menos no lote. Então, a probabilidade de o segundo item também ser defeituoso é um pouco menor.
Vamos supor que o lote inicial tenha $ N $ peças. A proporção defeituosa era 0,04, então há $ 0,04N $ peças defeituosas inicialmente. Após retirar uma defeituosa, restam $ 0,04N - 1 $ peças defeituosas e $ N - 1 $ peças no total.
A probabilidade do segundo ser defeituoso dado que o primeiro foi defeituoso é:
N

Passo 4

Para simplificar, se $ N $ for muito grande, a diferença causada pela remoção de uma peça é mínima. Então, podemos aproximar $ \frac{0,04N - 1}{N - 1} $ por 0,04.
N

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade de que os dois primeiros itens sejam defeituosos, multiplicamos as duas probabilidades:
P(Dois defeituosos) = P(Primeiro defeituoso) times P(Segundo defeituoso | Primeiro defeituoso)
Substituindo os valores:
P(Dois defeituosos) = 0,04 times 0,04 = 0,0016

Resposta

A probabilidade de que os dois primeiros itens selecionados sejam defeituosos é 0,16%.

Exercícios relacionados