A superfície de um fio metálico produzido industrialmente apresenta deformacoes. O controle da qualidade do processo de produção do fio monitora a v.a. X: Contagem de deformacoes aceitáveis tem Distribuição de Poisson com taxa de 2.0 dessas deformacoes para cada 20 metros lineares desse fio,
[10] (i) Calcule a probabilidade de não ter mais deformações aceitáveis do que as esperadas em um rolo qualquer de 40 mt ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio metálico que, durante a produção, pode apresentar deformações aceitáveis. A quantidade dessas deformações segue uma Distribuição de Poisson com uma taxa de 2,0 deformações a cada 20 metros lineares do fio. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, em um rolo de 40 metros, não ter mais deformações aceitáveis do que o esperado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Distribuição de Poisson. Essa distribuição é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.
A função de probabilidade da Distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências,
- $ k $ é o número de ocorrências,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

No enunciado, a taxa $ \lambda $ é de 2,0 deformações por 20 metros. Mas queremos calcular para 40 metros. Como a taxa é proporcional ao comprimento, basta ajustar $ \lambda $ para 40 metros:
lambda

Passo 4

Agora, a questão pede a probabilidade de não ter mais deformações do que o esperado. O esperado para 40 metros é $ \lambda = 4,0 $. Então, queremos calcular $ P(X \leq 4) $, ou seja, a probabilidade de ter 4 ou menos deformações.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X \leq 4) $ somando as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 deformações:
P(X <= 4)

Passo 6

Calculando cada termo usando a função de Poisson:
P(X=0) = 4^0 e^-40! = e^-4
P(X=1) = 4^1 e^-41! = 4e^-4
P(X=2) = 4^2 e^-42! = 8e^-4
P(X=3) = 4^3 e^-43! = 64e^-46 approx 10.6667e^-4
P(X=4) = 4^4 e^-44! = 256e^-424 approx 10.6667e^-4

Passo 7

Somando todos os termos:
P(X <= 4) = e^-4 + 4e^-4 + 8e^-4 + 10.6667e^-4 + 10.6667e^-4
P(X <= 4) = (1 + 4 + 8 + 10.6667 + 10.6667)e^-4
P(X <= 4) = 34.3334e^-4

Passo 8

Calculando $ e^{-4} \approx 0.0183 $:
e^-4 approx 0.0183
P(X <= 4) approx 34.3334 times 0.0183

Resposta

A probabilidade de não ter mais deformações aceitáveis do que as esperadas em um rolo de 40 metros é aproximadamente 62,7%.

Exercícios relacionados