Procon-sc recebeu uma reclamação de que um fornecedor enche sistematicamente por baixo os envases de detergente. Os volumes enchidos são supostos a ser normais com média 1000 gramas. Uma amostra pequena de 14 envases é medida de forma acurada. Os volumes mensurados (em gramas) são 1029, 1028, 1022, 973, 988, 985, 1040, 1024, 911, 1004, 956, 993, 970, 1082
A variância é suposta a ser 42, quando a máquina esta calibrada.
Se a máquina esta calibrada, qual é a probabilidade do volume na amostra ser inferior a 990 gramas?
A variância é suposta a ser 42, quando a máquina esta calibrada.
Se a máquina esta calibrada, qual é a probabilidade do volume na amostra ser inferior a 990 gramas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o Procon-SC que está verificando se um fornecedor está enchemdo os envases de detergente de forma adequada. A média esperada do volume é de 1000 gramas e a variância quando a máquina está calibrada é 42. Temos uma amostra de 14 envases com volumes medidos. A gente precisa descobrir a probabilidade de que o volume na amostra seja inferior a 990 gramas, assumindo que a máquina está calibrada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que os volumes dos envases seguem uma distribuição normal, ou seja, os valores estão distribuídos de forma que a maioria está próxima da média e poucos estão muito distantes. A média da distribuição é $ \mu = 1000 $ gramas e a variância é $ \sigma^2 = 42 $. A variância nos diz o quanto os valores variam em média em relação à média.
Passo 3
Como vamos trabalhar com a média de uma amostra, precisamos calcular o desvio padrão da média, também conhecido como erro padrão. O erro padrão é dado por:
Onde:
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 4
Primeiro, calculamos o desvio padrão da população:
Agora, calculamos o erro padrão:
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de que a média da amostra seja menor que 990 gramas. Para isso, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do valor z:
Passo 6
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a $ z = -5,773 $. Valores de z tão baixos indicam que a probabilidade é extremamente pequena, praticamente próxima de zero.
Resposta
A probabilidade do volume na amostra ser inferior a 990 gramas, assumindo que a máquina está calibrada, é praticamente zero.