Procon-sc recebeu uma reclamação de que um fornecedor enche sistematicamente por baixo os envases de detergente. Os volumes enchidos são supostos a ser normais com média 1000 gramas. Uma amostra pequena de 14 envases é medida de forma acurada. Os volumes mensurados (em gramas) são 1029, 1028, 1022, 973, 988, 985, 1040, 1024, 911, 1004, 956, 993, 970, 1082
A variância é suposta a ser 42, quando a máquina esta calibrada.
Se a máquina esta calibrada Qual o quantil 0.05 para o volume na amostra? square

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. O Procon-SC está verificando se os frascos de detergente estão sendo preenchidos corretamente. Eles dizem que, se a máquina estiver calibrada, o volume dos frascos segue uma distribuição normal com média de 1000 gramas e variância de 42. A gente recebeu uma amostra de 14 frascos com os volumes medidos. A pergunta é: Se a máquina está calibrada, qual é o quantil 0,05 para o volume na amostra?
Então, precisamos encontrar o valor abaixo do qual 5% dos volumes dos frascos estão, assumindo que a máquina está funcionando direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um quantil 0,05. Isso significa que queremos encontrar o valor $ x $ tal que 5% dos frascos têm volume menor ou igual a $ x $. Em termos de distribuição normal, estamos procurando o valor correspondente ao percentil de 5%.

Passo 3

Sabemos que a distribuição dos volumes é normal com média $ \mu = 1000 $ gramas e variância $ \sigma^2 = 42 $. Primeiro, vamos encontrar o desvio padrão $ \sigma $, que é a raiz quadrada da variância:
mu = 1000

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o z-score que corresponde ao quantil 0,05 na distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). O z-score para 0,05 pode ser encontrado em tabelas de distribuição normal ou usando uma calculadora. Geralmente, o z-score para 0,05 é aproximadamente:
z = -1,645

Passo 5

Com o z-score em mãos, usamos a fórmula de transformação da distribuição normal padrão para a distribuição original:
x = mu + z times sigma
Substituindo os valores:
x = 1000 + (-1,645) times 6,48 approx 1000 - 10,66 approx 989,34 gramas

Resposta

O quantil 0,05 para o volume na amostra é aproximadamente 989,34 gramas.

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