Convença-se de que lim x 0 cos (1 / x) não existe. Apesar disso, lim x 0 x^51 cos (1 / x)=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que limxto0cosl(1/xr) não existe.
  2. Mostrar que, apesar disso, limxto0x^51cosl(1/xr)=0.
O conteúdo envolvido são limites de funções oscilantes e o uso do Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) para funções que ficam presas entre duas outras.

Passo 2

Para ver que cos(1/x) não tem limite em 0, vamos construir duas sequências (xn) e (yn) que tendem a 0 mas fazem cos(1/x) tender a valores diferentes.
Escolha
xn = 12pi n, yn = 1(2n+1)pi,
para n=1,2,3,dots. Então claramente limntoinftyxn = limntoinftyyn = 0.

Passo 3

Calculemos as imagens:
cosl(1/xnr) = cos(2pi n) = 1, cosl(1/ynr) = cosl((2n+1)pir) = -1
Portanto
limntoinftycosl(1/xnr)=1 e limntoinftycosl(1/ynr)=-1
Como os dois limites são diferentes, não pode haver um único limite limxto0cos(1/x). Logo este limite não existe.

Passo 4

Agora consideremos x^51cos(1/x). Note que para todo xneq0 vale
-,l|x^51r| ;<=; x^51cosl(1/xr) ;<=; l|x^51r|
Como sabemos que
limxto0l|x^51r| = 0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0x^51cosl(1/xr) = 0

Resposta

A função cos(1/x) não tem limite quando xto0, mas
limxto0x^51cosl(1/xr)=0

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