Seja G um grupo. Prove que o conjunto dos isomorfismos de G é um grupo quando se considera sobre ele a composição de aplicações.( Estes isomorfismos costumam ser chamados de automorfismos de G, e o conjunto dos automorfismos de G costuma ser indicado por
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo
, o conjunto
é um grupo sob a operação de composição de aplicações.
Conteúdo: teoria de grupos e definição de automorfismo. Vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Conteúdo: teoria de grupos e definição de automorfismo. Vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
(Fechamento)
Sejam e
dois automorfismos de
.
Sejam
- Cada um é homomorfismo, logo para todo
- A composição
é então homomorfismo, pois
- Como
e são bijetoras, sua composição também é bijetora.
Logo , provando o fechamento.
Passo 3
(Associatividade)
A composição de aplicações é sempre associativa. Ou seja, se são bijeções de
em si, então
A composição de aplicações é sempre associativa. Ou seja, se
Como todos os elementos de são aplicações de
em
, a associatividade está garantida.
Passo 4
(Elemento neutro)
A aplicação identidade
A aplicação identidade
é claramente um homomorfismo (e bijetora), logo .
Para qualquer vale
Para qualquer vale
de modo que
é o elemento neutro da composição.
Passo 5
(Inversos)
Se , então por definição é bijetora e seu inverso
existe. Resta ver que
é homomorfismo. Para isso, note que para todo
temos
Se , então por definição
Pela injetividade de
segue
logo
é homomorfismo e, sendo bijetora, pertence a . Assim cada
tem inverso em .
Resposta
O conjunto , munido da operação de composição de aplicações, satisfaz fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos. Portanto é um grupo.