Seja G um grupo. Prove que o conjunto dos isomorfismos de G é um grupo quando se considera sobre ele a composição de aplicações.( Estes isomorfismos costumam ser chamados de automorfismos de G, e o conjunto dos automorfismos de G costuma ser indicado por Aut(G).)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo , o conjunto
é um grupo sob a operação de composição de aplicações.
Conteúdo: teoria de grupos e definição de automorfismo. Vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

(Fechamento)
Sejam e dois automorfismos de .
  1. Cada um é homomorfismo, logo para todo
  1. A composição é então homomorfismo, pois
  1. Como e são bijetoras, sua composição também é bijetora.
    Logo , provando o fechamento.

Passo 3

(Associatividade)
A composição de aplicações é sempre associativa. Ou seja, se são bijeções de em si, então
Como todos os elementos de são aplicações de em , a associatividade está garantida.

Passo 4

(Elemento neutro)
A aplicação identidade
é claramente um homomorfismo (e bijetora), logo .
Para qualquer vale
de modo que é o elemento neutro da composição.

Passo 5

(Inversos)
Se , então por definição é bijetora e seu inverso existe. Resta ver que é homomorfismo. Para isso, note que para todo temos
Pela injetividade de segue
logo é homomorfismo e, sendo bijetora, pertence a . Assim cada tem inverso em .

Resposta

O conjunto , munido da operação de composição de aplicações, satisfaz fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos. Portanto é um grupo.

Exercícios relacionados