1. Determine todos os isomorfismos de grupo Klein.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os isomorfismos do grupo Klein V4 (também chamado de grupo de Klein), que é o grupo abeliano de ordem 4 em que todo elemento não-unitário tem ordem 2. O conteúdo aqui é o de automorfismos de grupo, ou seja, bijeções que preservam a operação.

Passo 2

Descri-mos a estrutura de V4. Seja
V4 = e,a,b,c,
com e elemento neutro e
a^2 = b^2 = c^2 = e, ab = c,; bc = a,; ca = b
Os únicos geradores possíveis são pares de involuções distintas, mas o que importa é que há exatamente três elementos de ordem 2: a,b,c.

Passo 3

Um isomorfismo varphicolon V4to V4 é determinado pela imagem dos geradores, sujeita a:
1. varphi(e)=e (o neutro vai no neutro).
2. varphi deve enviar cada involução em outra involução, e conservar produtos.
Como todo produto de duas involuções distintas é a terceira involução, qualquer permutação dos três elementos a,b,c preserva essas relações.

Passo 4

Logo, cada bijeção de a,b,c em si mesma estende-se a um automorfismo de V4. Há 3! = 6 permutações, isto é, 6 automorfismos, e não há outros porque não há mais involuções nem gerações alternativas.

Passo 5

Podemos escrever essas seis automorfismos na notação de ciclos agindo em a,b,c:
&(i) identidade: (a)(b)(c), &(ii) transposição (ab):;arightarrow b,;cmapsto c, &(iii) transposição (ac):;arightarrow c,;bmapsto b, &(iv) transposição (bc):;brightarrow c,;amapsto a, &(v) ciclo (abc):;amapsto b,;bmapsto c,;cmapsto a, &(vi) ciclo (acb):;amapsto c,;cmapsto b,;bmapsto a çãçãçã
Em cada caso varphi(e)=e e a extensão a produtos segue da preservação de relações ab=c, etc.

Resposta

Os únicos isomorfismos de V4 em si mesmo são os seis automorfismos que correspondem às permutações de a,b,c, isto é, o grupo de automorfismos Aut(V4)cong S3.

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