- Determine todos os isomorfismos de grupo Klein.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os isomorfismos do grupo Klein
(também chamado de grupo de Klein), que é o grupo abeliano de ordem
em que todo elemento não-unitário tem ordem
. O conteúdo aqui é o de automorfismos de grupo, ou seja, bijeções que preservam a operação.
Passo 2
Descri-mos a estrutura de
. Seja
com
elemento neutro e
Os únicos geradores possíveis são pares de involuções distintas, mas o que importa é que há exatamente três elementos de ordem
:
.
Passo 3
Um isomorfismo
é determinado pela imagem dos geradores, sujeita a:
.
(o neutro vai no neutro).
.
deve enviar cada involução em outra involução, e conservar produtos.
Como todo produto de duas involuções distintas é a terceira involução, qualquer permutação dos três elementos
preserva essas relações.
Passo 4
Logo, cada bijeção de
em si mesma estende-se a um automorfismo de
. Há
permutações, isto é,
automorfismos, e não há outros porque não há mais involuções nem gerações alternativas.
Passo 5
Podemos escrever essas seis automorfismos na notação de ciclos agindo em
:
Em cada caso
e a extensão a produtos segue da preservação de relações
, etc.
Resposta
Os únicos isomorfismos de
em si mesmo são os seis automorfismos que correspondem às permutações de
, isto é, o grupo de automorfismos
.