Mostre que os polinômios 1-x^3,(1-x)^2, 1-x, 1 geram P3(R).

Passo 1

Nesse exercício a gente quer mostrar que os polinômios 1 - x^3, (1 - x)^2, 1 - x e 1 geram o espaço P3(R). O que precisamos é pegar um polinômio genérico de grau ≤ 3, escrever como combinação linear desses quatro candidatos e usar a igualdade de polinômios (comparar coeficientes) para achar os scalars.

Passo 2

Vamos chamar o polinômio genérico de p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d. Suponhamos que exista uma combinação
alpha(1 - x^3) + beta(1 - x)^2 + gamma(1 - x) + de<a = p(x)

Passo 3

Agora expandimos e agrupamos em potências de x. Primeiro note que
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Logo a soma fica
alpha(1 - x^3) + beta(1 - 2x + x^2) + gamma(1 - x) + de<a = (alpha + beta + gamma + de<a) + (-2beta - gamma)x + beta x^2 - alpha x^3

Passo 4

Comparando com a x^3 + b x^2 + c x + d, obtemos o sistema de equações
-alpha = a, beta = b, -2beta - gamma = c, alpha + beta + gamma + de<a = d

Passo 5

Resolvendo para alpha,beta,gamma,de<a em função de a,b,c,d
alpha = -a, beta = b, gamma = -c - 2b, de<a = d + a + b + c

Passo 6

Isso mostra que, para quaisquer a,b,c,d, existe escolha de alpha,beta,gamma,de<a que reproduz p(x). Portanto, toda vez que eu pegar um polinômio de grau até 3 ele sai dessa combinação.

Resposta

Os polinômios 1 - x^3, (1 - x)^2, 1 - x e 1 geram P3(R), pois achamos coeficientes alpha,beta,gamma,de<a para representar todo p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

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