Mostre que os polinômios
geram
.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer mostrar que os polinômios
,
,
e
geram o espaço
. O que precisamos é pegar um polinômio genérico de grau ≤ 3, escrever como combinação linear desses quatro candidatos e usar a igualdade de polinômios (comparar coeficientes) para achar os scalars.
Passo 2
Vamos chamar o polinômio genérico de
. Suponhamos que exista uma combinação
Passo 3
Agora expandimos e agrupamos em potências de
. Primeiro note que
Logo a soma fica
Passo 4
Comparando com
, obtemos o sistema de equações
Passo 5
Resolvendo para
em função de
dá
Passo 6
Isso mostra que, para quaisquer
, existe escolha de
que reproduz
. Portanto, toda vez que eu pegar um polinômio de grau até 3 ele sai dessa combinação.
Resposta
Os polinômios
,
,
e
geram
, pois achamos coeficientes
para representar todo
.