( 1,0 \mathrm{pt} ) Calcule as integrais definidas por substituição:
\int_{2}^{3} \frac{\operatorname{sec} ^{2}(\ln x)}{x} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral definida
\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{\operatorname{sec}^2(\ln x)}{x}\,dx.
O conteúdo é substituição simples, pois vemos \ln x dentro de uma função cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x,
de modo que
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}=du.
Os limites também mudam: para x=2 temos u=\ln 2; para x=3 temos u=\ln 3.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int_{2}^{3} \frac{\operatorname{sec}^2(\ln x)}{x}\,dx, obtemos
\int_{\ln 2}^{\ln 3} \operatorname{sec}^2(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que uma antiderivada de \operatorname{sec}^2(u) é \tan(u). Logo,
\int_{\ln 2}^{\ln 3} \operatorname{sec}^2(u)\,du = \bigl[\tan(u)\bigr]_{\ln 2}^{\ln 3} = \tan(\ln 3) - \tan(\ln 2).

Resposta

\tan(\ln 3) - \tan(\ln 2)

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