Determine o sup e o inf das seguintes sequências: d_n = 1 + 1/n.
12. Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das séries númericas.

Passo 1

Vamos resolver duas partes deste exercício. Primeiro, vamos determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência . Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e propriedades de supremo e ínfimo. Em seguida, vamos enumerar e explicar métodos para analisar a convergência de séries numéricas.

Passo 2

Parte 1: Determinar o sup e o inf da sequência .
Primeiro, vamos entender o que significa supremo e ínfimo de uma sequência. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência, enquanto o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
Observemos a sequência . Conforme cresce, diminui, aproximando-se de 0. Portanto, os termos da sequência estão diminuindo e se aproximando de 1.

Passo 3

Vamos identificar os termos extremos da sequência:
  • Quando : .
  • Conforme tende ao infinito ( ): .
Portanto, o maior termo da sequência é 2 e os termos se aproximam de 1.

Passo 4

Agora, podemos determinar o supremo e o ínfimo:
  • Supremo (sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência. Nesse caso, o supremo é o primeiro termo da sequência, que é 2.
  • Ínfimo (inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Como a sequência converge para 1, o ínfimo é 1.
Portanto:

Passo 5

Parte 2: Enumerar e explicar os métodos para analisar a convergência de séries numéricas.
Para verificar se uma série numérica converge, ou seja, se a soma infinita dos seus termos tem um valor finito, podemos usar vários métodos. Aqui estão alguns dos mais comuns:
  1. Teste da Série Geométrica:
    • Descrição: Aplica-se a séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência de uma razão fixa.
    • Condição de Convergência: Uma série geométrica converge se . Nesse caso, a soma é .
  2. Teste da Série p:
    • Descrição: Utilizado para séries da forma .
    • Condição de Convergência: Converge se e diverge se .
  3. Teste da Comparação:
    • Descrição: Compara a série em questão com uma série conhecida que converge ou diverge.
    • Como Funciona: Se os termos da série são menores que os termos de uma série convergente, então a série também converge. Se são maiores que os termos de uma série divergente, então a série também diverge.
  4. Teste da Comparação Limitada (Teste do Limite):
    • Descrição: Calcula o limite do quociente entre os termos da série e os termos de uma série comparável.
    • Condição de Convergência: Se , onde é uma constante positiva finita e converge, então também converge.
  5. Teste da Razão (ou de D’Alembert):
    • Descrição: Analisa o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
    • Condição de Convergência: Se :
      • Se , a série converge.
      • Se , a série diverge.
      • Se , o teste é inconclusivo.
  6. Teste da Raiz (ou de Cauchy):
    • Descrição: Examina o limite da raiz n-ésima dos termos da série.
    • Condição de Convergência: Se :
      • Se , a série converge.
      • Se , a série diverge.
      • Se , o teste é inconclusivo.
  7. Teste da Integral:
    • Descrição: Relaciona a convergência de uma série com a convergência de uma integral imprópria.
    • Como Funciona: Se , onde é uma função positiva, contínua e decrescente, então a série converge se e somente se a integral converge.
  8. Teste da Série Alternada (ou de Leibniz):
    • Descrição: Aplica-se a séries cujos termos alternam sinais.
    • Condição de Convergência: Se os termos decrescem em módulo e tendem a zero, a série converge.

Resposta

Parte 1:
Parte 2:
Os métodos para analisar a convergência de séries numéricas incluem:
  1. Teste da Série Geométrica
  2. Teste da Série p
  3. Teste da Comparação
  4. Teste da Comparação Limitada (Teste do Limite)
  5. Teste da Razão (de D’Alembert)
  6. Teste da Raiz (de Cauchy)
  7. Teste da Integral
  8. Teste da Série Alternada (de Leibniz)

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