Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
.
12. Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das séries númericas.
12. Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das séries númericas.
Passo 1
Vamos resolver duas partes deste exercício. Primeiro, vamos determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e propriedades de supremo e ínfimo. Em seguida, vamos enumerar e explicar métodos para analisar a convergência de séries numéricas.
Passo 2
Parte 1: Determinar o sup e o inf da sequência
.
Primeiro, vamos entender o que significa supremo e ínfimo de uma sequência. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência, enquanto o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
Observemos a sequência
. Conforme
cresce,
diminui, aproximando-se de 0. Portanto, os termos da sequência estão diminuindo e se aproximando de 1.
Passo 3
Vamos identificar os termos extremos da sequência:
- Quando
: . - Conforme
tende ao infinito ( ): .
Portanto, o maior termo da sequência é 2 e os termos se aproximam de 1.
Passo 4
Agora, podemos determinar o supremo e o ínfimo:
-
Supremo (sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência. Nesse caso, o supremo é o primeiro termo da sequência, que é 2.
-
Ínfimo (inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Como a sequência converge para 1, o ínfimo é 1.
Portanto:
Passo 5
Parte 2: Enumerar e explicar os métodos para analisar a convergência de séries numéricas.
Para verificar se uma série numérica converge, ou seja, se a soma infinita dos seus termos tem um valor finito, podemos usar vários métodos. Aqui estão alguns dos mais comuns:
-
Teste da Série Geométrica:
- Descrição: Aplica-se a séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência de uma razão fixa.
- Condição de Convergência: Uma série geométrica
converge se . Nesse caso, a soma é .
-
Teste da Série p:
- Descrição: Utilizado para séries da forma
. - Condição de Convergência: Converge se
e diverge se .
- Descrição: Utilizado para séries da forma
-
Teste da Comparação:
- Descrição: Compara a série em questão com uma série conhecida que converge ou diverge.
- Como Funciona: Se os termos da série são menores que os termos de uma série convergente, então a série também converge. Se são maiores que os termos de uma série divergente, então a série também diverge.
-
Teste da Comparação Limitada (Teste do Limite):
- Descrição: Calcula o limite do quociente entre os termos da série e os termos de uma série comparável.
- Condição de Convergência: Se
, onde é uma constante positiva finita e converge, então também converge.
-
Teste da Razão (ou de D’Alembert):
- Descrição: Analisa o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
- Condição de Convergência: Se
: - Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
-
Teste da Raiz (ou de Cauchy):
- Descrição: Examina o limite da raiz n-ésima dos termos da série.
- Condição de Convergência: Se
:- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
-
Teste da Integral:
- Descrição: Relaciona a convergência de uma série com a convergência de uma integral imprópria.
- Como Funciona: Se
, onde é uma função positiva, contínua e decrescente, então a série converge se e somente se a integral converge.
-
Teste da Série Alternada (ou de Leibniz):
- Descrição: Aplica-se a séries cujos termos alternam sinais.
- Condição de Convergência: Se os termos decrescem em módulo e tendem a zero, a série converge.
Resposta
Parte 1:
Parte 2:
Os métodos para analisar a convergência de séries numéricas incluem:
Os métodos para analisar a convergência de séries numéricas incluem:
- Teste da Série Geométrica
- Teste da Série p
- Teste da Comparação
- Teste da Comparação Limitada (Teste do Limite)
- Teste da Razão (de D’Alembert)
- Teste da Raiz (de Cauchy)
- Teste da Integral
- Teste da Série Alternada (de Leibniz)