Convergência e Divergência) Quais das sequências a_{n} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência \displaystyle a_{n} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{n}\bigr)
e decidir se ela converge ou diverge, além de encontrar o limite quando ela converge. O conteúdo envolvido é limite de sequência e continuidade de funções (ou uso de identidades trigonométricas).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2} + x\bigr) = \cos(x).
Aplicando-a em cada termo, obtemos
a_{n} = \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{1}{n}\Bigr) = \cos\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr).

Passo 3

Observamos que \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.
Logo, o argumento de \cos tende a zero.

Passo 4

Como a função \cos(x) é contínua em x=0, vale
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\cos\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr) = \cos\bigl(0\bigr) = 1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 1.

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