Convergência e Divergência) Quais das sequências a_{n} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\frac{n!}{2^{n} \cdot 3^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n!}{2^{n}\cdot 3^{n}} = \frac{n!}{6^{n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar é o estudo da razão de termos consecutivos em sequência.

Passo 2

Para decidir se \bigl(a_{n}\bigr) converge, calculamos a razão entre termos sucessivos. Se essa razão for maior que 1 para n grande, a sequência cresce e diverge para +\infty.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{6^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{6^{\,n}}} = \frac{n+1}{6}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{6} = +\infty, a razão fica maior que 1 a partir de n\ge6 e cresce sem limite.

Passo 4

Uma razão maior que 1 implica que, depois de certo ponto, cada termo é maior que o anterior e a sequência cresce indefinidamente. Portanto \bigl(a_{n}\bigr) não se aproxima de valor finito.

Resposta

A sequência diverge, mais precisamente a_{n}\to +\infty.

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