(Séries Geométricas com uma variável \mathbf{x} )Encontre os valores de x para os quais a série dada converge. E encontre o valor da soma (em função de x ) para esses valores de x \sum_{n=1}^{\infty}(\ln x)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^{n}
converge e, nesses valores de x, expressar a soma em função de x. O conteúdo necessário é o teste de convergência e a soma da série geométrica.
Passo 2
Observe que a série é geométrica de razão
q = \ln x
com primeiro termo
a_1 = (\ln x)^{1} = \ln x.
Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} converge exatamente se
|q| < 1.
Passo 3
Aplicando este critério ao nosso caso, exigimos
\bigl|\ln x\bigr| < 1.
Como \ln x só está definido para x>0, resolvemos
-1 < \ln x < 1.
Exponenciando cada parte:
e^{-1} < x < e^{1},
ou seja
\frac{1}{e} < x < e.
Passo 4
Para \frac{1}{e} < x < e, a soma da série geométrica é