(Séries Geométricas com uma variável \mathbf{x} )Encontre os valores de x para os quais a série dada converge. E encontre o valor da soma (em função de x ) para esses valores de x
\sum_{n=1}^{\infty}(\ln x)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^{n}
converge e, nesses valores de x, expressar a soma em função de x. O conteúdo necessário é o teste de convergência e a soma da série geométrica.

Passo 2

Observe que a série é geométrica de razão
q = \ln x
com primeiro termo
a_1 = (\ln x)^{1} = \ln x.
Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} converge exatamente se
|q| < 1.

Passo 3

Aplicando este critério ao nosso caso, exigimos
\bigl|\ln x\bigr| < 1.
Como \ln x só está definido para x>0, resolvemos
-1 < \ln x < 1.
Exponenciando cada parte:
e^{-1} < x < e^{1},
ou seja
\frac{1}{e} < x < e.

Passo 4

Para \frac{1}{e} < x < e, a soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^{n} = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{\ln x}{1 - \ln x}.

Resposta

A série converge para
\frac{1}{e} < x < e
e, nesse intervalo,
\sum_{n=1}^{\infty} (\ln x)^{n} = \frac{\ln x}{1 - \ln x}.

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