(Séries Geométricas com uma variável \mathbf{x} )Encontre os valores de x para os quais a série dada converge. E encontre o valor da soma (em função de x ) para esses valores de x
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n}(x-3)^{n}
que é uma série geométrica em n com termo geral \bigl(a\,r^{\,n-1}\bigr) a partir de certa reescrita. O conteúdo é Séries Geométricas, e vamos precisar do critério de convergência \lvert r\rvert<1 e da fórmula da soma
\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}.

Passo 2

Para pôr no formato padrão, observe que
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n}(x-3)^{n} =\bigl[(x-3)\cdot(-\tfrac12)\bigr]^{n}
é uma série geométrica iniciando em n=1 com razão
r=(x-3)\,\bigl(-\tfrac12\bigr).
Converge se e somente se
\lvert r\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl\lvert (x-3)\,\bigl(-\tfrac12\bigr)\bigr\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x-3\rvert<2.

Passo 3

Da condição \lvert x-3\rvert<2 obtemos o domínio de convergência
1<x<5.
Agora, para a soma, note que a série original é
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[(x-3)(-{\tfrac12})\bigr]^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(x-3)(-{\tfrac12})\bigr]^{n+1}.
Seja a=\bigl[(x-3)(-{\tfrac12})\bigr]. Então
\sum_{n=1}^{\infty}a^{n} =\sum_{k=0}^{\infty}a^{\,k+1} =a\sum_{k=0}^{\infty}a^{k} =\frac{a}{1-a},
desde que \lvert a\rvert<1.

Passo 4

Substituindo a=(x-3)(-{\tfrac12}) na fórmula da soma, obtemos
S(x) =\frac{-(x-3)/2}{1-[-(x-3)/2]} =\frac{-(x-3)/2}{1+(x-3)/2} =\frac{-(x-3)}{2+(x-3)} =\frac{-(x-3)}{x-1}.

Resposta

A série converge para \lvert x-3\rvert<2, ou seja, 1<x<5, e sua soma é
S(x)=-\frac{x-3}{x-1}.

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