Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \cos n \pi

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\cos n\pi.
O conteúdo aqui é o teste do termo geral: uma série só pode convergir se o seu termo geral tende a zero.

Passo 2

Vamos estudar o termo geral:
a_n = \cos n\pi.
Como \cos n\pi=(-1)^n, isso significa que
a_n = (-1)^n,
que oscila entre 1 e -1 conforme n cresce.

Passo 3

Para uma série \sum a_n convergir, é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Aqui temos
\lim_{n\to\infty}(-1)^n
que não existe (os valores ficam alternando entre 1 e -1)). Logo, a condição necessária falha.

Resposta

A série diverge.

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